Riyaziyyat: məktəb və DİM mövzuları üzrə suallar və cavablar

Question 1

Riyaziyyatı sıfırdan necə öyrənmək olar?

Accepted Answer

Ən əsasdan başla və hər mövzunu möhkəmləndirmədən növbətisinə keçmə: əvvəlcə hesab əməlləri, mənfi ədədlər, kəsrlər və faizlər, sonra ifadələr, tənliklər və funksiyalar. Riyaziyyat pilləkən kimidir, aşağı pillədəki boşluq yuxarıdakı hər mövzunu çətinləşdirir, ona görə aşağı siniflərin dərsliklərinə qayıtmaqdan çəkinmə. Hər gün 30–45 dəqiqə ayır və hər qaydanı oxuyandan sonra bir neçə misalı mütləq əl ilə həll et. Həlli dostuna izah edirmiş kimi ucadan danışmaq da faydalıdır: anlamadığın yer dərhal üzə çıxır.

Question 2

Riyaziyyatı başa düşmürəm, nə edim?

Accepted Answer

Əvvəlcə dəqiq harada ilişdiyini tap: riyaziyyatda yeni mövzu köhnələrin üzərində qurulur, ona görə “heç nə başa düşmürəm” hissi çox vaxt bir-iki unudulmuş mövzudan yaranır. Həmin mövzuya qayıt, başqa izah axtar (başqa dərslik, video, müəllim və ya süni intellekt) və asan misallardan çətinə doğru get. Hazır həllə baxanda hər addımda “bu niyə belədir?” soruş, sonra eyni tipli məsələni köməksiz həll et. OrujovAI-nin “Həll et” bölməsində addımlar bir-bir açılır, növbəti addımı açmazdan əvvəl onu özün sınaya bilərsən.

Question 3

Riyaziyyatdan DİM-ə necə hazırlaşım?

Accepted Answer

dim.gov.az-dakı riyaziyyat proqramından başla: proqram ümumtəhsil məktəbinin kursunu əhatə edir, ona görə mövzuları siyahıya yığ və boşluq olanları qeyd et. DİM-in 2026-cı il modelində (2027-ci il qəbulunda da saxlanılır) blok imtahanında riyaziyyatdan 30 tapşırıq var: 22 qapalı, cavabı kodlaşdırılan 5 açıq və həlli yazılan 3 tapşırıq, yəni təkcə variantlı test işləmək azdır. Həftədə bir dəfə vaxta qarşı tam sınaq işlə, qalan günlərdə zəif mövzular üzərində çalış və hər səhvi səhv dəftərinə yaz. Model dəyişə bilər, ona görə imtahan ilinin rəsmi qaydalarını DİM-in saytında yoxla.

Question 4

Riyaziyyatdan yüksək bal necə yığmaq olar?

Accepted Answer

Yüksək bal ən çox çətin məsələlərdən yox, asan və orta tapşırıqlarda səhv etməməkdən gəlir: əsas mövzuları avtomatlaşdır və hər cavabı yoxlamağı vərdişə çevir. Qəbulun blok imtahanında qapalı tapşırıqlarda dörd səhv cavab bir düzgün cavabı silir, ona görə tam təsadüfi təxmin orta hesabla heç nə qazandırmır, amma heç olmasa bir variantı qəti istisna edə bilirsənsə, risk artıq özünü doğruldur. Açıq tapşırıqlarda isə səhv cavab bal aparmır, ona görə onları boş qoyma, ən yaxşı cavabını yaz. Vaxtı bölüşdürməyi sınaqlarda məşq et: ilişdiyin sualı nişanla, keç və sonda ona qayıt.

Question 5

Süni intellekt mənə riyaziyyat öyrədə bilər?

Accepted Answer

Bəli, yaxşı köməkçi ola bilər: mövzunu sənin səviyyəndə izah edir, anlamadığın yeri başqa sözlərlə təkrarlayır, yeni məşq məsələləri yazır və həllindəki səhvi göstərir. Amma süni intellekt də hesabda yanıla və ya şərti səhv oxuya bilər, ona görə cavabı yerinə qoyub yoxla, mübahisəli yeri dərsliklə tutuşdur. Ondan hazır cavab yox, ipucu istəsən, daha çox öyrənərsən. OrujovAI-nin Canlı Müəllimi bütöv dərsi lövhədə səslə keçir və arada qısa yoxlama sualları verir.

Question 6

Kəsrlər üzərində əməllər necə aparılır?

Accepted Answer

Toplama və çıxmada kəsrləri əvvəlcə ortaq məxrəcə gətir, sonra surətləri topla və ya çıx: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6. Vurmada surəti surətə, məxrəci məxrəcə vurursan: 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5. Bölmədə birinci kəsri ikincinin tərsinə vurursan: 2/3 : 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. Qarışıq ədədləri əvvəlcə düzgün olmayan kəsrə çevir, cavabı isə sonda ixtisar et.

Question 7

Kəsri necə ixtisar etmək olar?

Accepted Answer

Surəti və məxrəci eyni ədədə, ən yaxşısı onların ən böyük ortaq böləninə (ƏBOB) böl: 18/24 kəsrində ƏBOB 6-dır, deməli, 18/24 = 3/4. ƏBOB-u dərhal görmürsənsə, ortaq bölən qalmayana qədər 2, 3, 5 kimi kiçik ədədlərə ardıcıl böl. Cəbri kəsrlərdə əvvəlcə surəti və məxrəci vuruqlara ayır, sonra yalnız ortaq vuruqları ixtisar et: x ≠ 2 olduqda (x² − 4)/(x − 2) = x + 2. Toplananları ixtisar etmək olmaz, məsələn, (x + 3)/3 kəsrində 3-ləri silmək kobud səhvdir.

Question 8

Faiz necə hesablanır?

Accepted Answer

Faiz ədədin yüzdə bir hissəsidir, ona görə a ədədinin p faizi a × p/100 kimi tapılır: 240-ın 15%-i 240 × 0,15 = 36-dır. Bir ədədin digərinin neçə faizi olduğunu bilmək üçün onu ikinciyə bölüb 100%-ə vur: məsələn, 18 ədədi 72-nin 18/72 × 100% = 25%-idir. Hissə və onun faizi məlumdursa, ədədin özünü bölmə ilə taparsan: 30 hansısa ədədin 20%-idirsə, həmin ədəd 30 : 0,2 = 150-dir.

Question 9

Faizə aid məsələlər necə həll olunur?

Accepted Answer

Əvvəlcə nəyin 100% götürüldüyünü müəyyən et, çünki səhvlərin çoxu bazanın qarışdırılmasından yaranır. Ədəd p% artanda 1 + p/100 vuruğuna, p% azalanda isə 1 − p/100 vuruğuna vurulur, ardıcıl dəyişmələrdə bu vuruqlar bir-birinə vurulur: qiymət əvvəl 20% artıb, sonra 20% ucuzlaşsa, 1,2 × 0,8 = 0,96 alınır, yəni ilkin qiymətdən 4% aşağı. Faizləri sadəcə toplamaq və çıxmaq olmaz, hər növbəti dəyişmə yeni bazadan hesablanır. Bu tələni OrujovAI-nin Canlı Müəllimindəki pulsuz “Faiz və nisbət məsələləri” dərsi lövhədə ayrıca izah edir, dərsə hər kəs baxa bilər.

Question 10

Tənlik necə həll olunur?

Accepted Answer

Tənliyi həll etmək bərabərliyi doğru edən bütün qiymətləri tapmaq deməkdir. Xətti tənlikdə məchullu hədləri bir tərəfə, ədədləri digər tərəfə keçir (keçəndə işarə dəyişir), sonra hər iki tərəfi məchulun əmsalına böl: 3x − 5 = 10 → 3x = 15 → x = 5. Mötərizə və kəsrlər varsa, əvvəlcə mötərizələri aç və bütün tənliyi ortaq məxrəcə vur. Sonda tapdığın kökü ilkin tənlikdə yerinə qoyub yoxla.

Question 11

Tənliklər sistemi necə həll olunur?

Accepted Answer

Əsas iki üsul var: əvəzetmə və toplama. Əvəzetmədə bir tənlikdən məchullardan birini ifadə edib digər tənlikdə yerinə yazırsan, toplamada isə tənlikləri elə vurursan ki, topladıqda məchullardan biri yox olsun: x + y = 7 və x − y = 1 sistemində toplayanda 2x = 8, yəni x = 4, sonra y = 3 alınır. Qrafik üsulda hər tənliyin qrafikini qurursan və kəsişmə nöqtəsi həll olur, amma bu üsul adətən təxmini nəticə verir. Tapdığın cütü hər iki tənlikdə yoxlamağı unutma.

Question 12

Kvadrat tənlik necə həll olunur?

Accepted Answer

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) tənliyini ümumi halda diskriminantla həll edirsən: D = b² − 4ac, x = (−b ± √D)/(2a). Məsələn, x² − 5x + 6 = 0 üçün D = 25 − 24 = 1, köklər isə (5 ± 1)/2, yəni 3 və 2-dir. Natamam tənliklər daha tez həll olunur: x² − 9 = 0 olduqda x = ±3, x² − 4x = 0 olduqda isə x(x − 4) = 0, yəni x = 0 və ya x = 4. Elə bu x² − 5x + 6 = 0 nümunəsi “Kvadrat tənliklər və diskriminant” dərsində qrafiklə birlikdə izah olunur: bu, OrujovAI-nin Canlı Müəllimində hamıya açıq olan pulsuz dərsdir.

Question 13

Diskriminant nədir və necə hesablanır?

Accepted Answer

Diskriminant kvadrat tənliyin neçə həqiqi kökü olduğunu göstərən ədəddir və ax² + bx + c = 0 üçün D = b² − 4ac düsturu ilə hesablanır. D > 0 olduqda iki müxtəlif kök, D = 0 olduqda bir kök (iki bərabər kök) var, D < 0 olduqda isə həqiqi kök yoxdur. Məsələn, 2x² + 3x − 2 = 0 üçün D = 9 + 16 = 25, köklər (−3 ± 5)/4, yəni 1/2 və −2-dir. Mənfi əmsalı mötərizə ilə kvadrata yüksəlt: b = −3 olduqda b² = (−3)² = 9 alınır, −9 yox.

Question 14

Viyet teoremi nədir?

Accepted Answer

Viyet teoremi kvadrat tənliyin kökləri ilə əmsalları arasındakı əlaqədir: ax² + bx + c = 0 üçün x₁ + x₂ = −b/a, x₁x₂ = c/a. Gətirilmiş x² + px + q = 0 tənliyində sadəcə x₁ + x₂ = −p və x₁x₂ = q olur, məsələn, x² − 7x + 12 = 0 üçün cəmi 7, hasili 12 olan ədədlər 3 və 4-dür. Teorem kökləri tez tapmaq, onları yoxlamaq və x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ kimi ifadələri tənliyi həll etmədən hesablamaq üçün işlənir. Onu yalnız tənliyin həqiqi kökləri olduqda (D ≥ 0) tətbiq et.

Question 15

Bərabərsizliklər necə həll olunur?

Accepted Answer

Xətti bərabərsizlik tənlik kimi həll olunur, bircə vacib fərqlə: hər iki tərəfi mənfi ədədə vuranda və ya böləndə işarəni tərsinə çevirirsən: −2x > 6 → x < −3. Kvadrat və kəsrli bərabərsizliklərdə əvvəlcə uyğun tənliyin köklərini tap, sonra işarəni parabolanın vəziyyətinə görə və ya intervallar üsulu ilə müəyyən et. Cavabı aralıq şəklində yaz və uc nöqtələrə diqqət et: ≤ və ≥ işarələrində kvadrat mötərizə, < və > işarələrində dairəvi mötərizə qoyulur.

Question 16

İntervallar üsulu nədir?

Accepted Answer

İntervallar üsulu vuruqlara ayrılmış və ya kəsr şəklində olan bərabərsizlikləri həll etmək üsuludur. Hər şeyi bir tərəfə keçir, ifadəni vuruqlara ayır, surətin və məxrəcin sıfırlarını ədəd oxunda qeyd et və hər aralıqda bir yoxlama nöqtəsi ilə işarəni tap. Məsələn, (x − 1)(x + 3) < 0 üçün sıfırlar −3 və 1-dir, ifadə yalnız onların arasında mənfidir, cavab: −3 < x < 1. Məxrəcin sıfırları cavaba heç vaxt daxil edilmir, cüt dərəcəli vuruq isə, məsələn (x − 2)², işarəni dəyişmir.

Question 17

Modullu tənliklər necə həll olunur?

Accepted Answer

Ədədin modulu onun sıfırdan məsafəsidir, ona görə modul heç vaxt mənfi olmur. |f(x)| = a tənliyində a < 0 olarsa, həll yoxdur, a ≥ 0 olarsa, tənlik ikiyə ayrılır: f(x) = a və ya f(x) = −a; məsələn, |2x − 3| = 5 tənliyindən x = 4 və ya x = −1 alınır. Bir neçə modul varsa, modulların daxilini sıfır edən nöqtələrlə ədəd oxunu aralıqlara böl və hər aralıqda modulları uyğun işarə ilə aç. Sağ tərəfdə də dəyişən varsa, tapılan kökləri mütləq yoxla.

Question 18

İrrasional tənliklər necə həll olunur?

Accepted Answer

Kökü bir tərəfdə tək saxla, hər iki tərəfi kvadrata yüksəlt, alınan tənliyi həll et və hər kökü ilkin tənlikdə yoxla, çünki kvadrata yüksəldəndə kənar köklər yarana bilər. Məsələn, √(x + 3) = x − 3 → x + 3 = x² − 6x + 9 → x² − 7x + 6 = 0, buradan x = 6 və ya x = 1. Yoxlamada x = 1 üçün sol tərəf 2, sağ tərəf −2 alınır, deməli, bu kənar kökdür və cavab yalnız x = 6-dır. Cüt dərəcəli kökün altındakı ifadə də, kökün özü də mənfi ola bilməz, bu şərtləri əvvəlcədən yazmaq işi asanlaşdırır.

Question 19

Üstlü tənliklər necə həll olunur?

Accepted Answer

Əsas üsul hər iki tərəfi eyni əsaslı qüvvət şəklində yazmaqdır: a > 0, a ≠ 1 olduqda qüvvətlər bərabərdirsə, qüvvət göstəriciləri də bərabərdir, məsələn, 3²ˣ⁻¹ = 27 = 3³ → 2x − 1 = 3 → x = 2. Eyni qüvvət müxtəlif şəkillərdə təkrarlanırsa, yeni dəyişən daxil et: 4ˣ − 3 × 2ˣ − 4 = 0 tənliyində t = 2ˣ > 0 götürsən, t² − 3t − 4 = 0, yəni t = 4 və ya t = −1 alınır, mənfi qiymət atılır və x = 2 olur. Əsasları eyniləşdirmək mümkün deyilsə, hər iki tərəfi loqarifmlə.

Question 20

Loqarifm nədir?

Accepted Answer

b ədədinin a əsasına görə loqarifmi (logₐb) b-ni almaq üçün a-nı yüksəltmək lazım olan qüvvət göstəricisidir: log₂8 = 3, çünki 2³ = 8. Burada a > 0, a ≠ 1 və b > 0 olmalıdır, yəni mənfi ədədin və sıfırın loqarifmi yoxdur. Onluq loqarifm lg (əsası 10), natural loqarifm isə ln (əsası e ≈ 2,718) kimi yazılır. Məchul qüvvət göstəricisində olanda onu oradan “aşağı endirmək” üçün məhz loqarifmdən istifadə olunur.

Question 21

Loqarifmik tənliklər necə həll olunur?

Accepted Answer

Əvvəlcə təyin oblastını yaz: loqarifm altındakı bütün ifadələr müsbət olmalıdır, əsas da müsbət və 1-dən fərqli. Sonra ya tərifdən istifadə et (log₂(x + 1) = 3 → x + 1 = 2³ → x = 7), ya da hər iki tərəfi eyni əsaslı loqarifmə gətirib loqarifm altındakı ifadələri bərabərləşdir. Məsələn, log₃(x² − 4) = log₃(3x) → x² − 3x − 4 = 0 → x = 4 və ya x = −1, amma x = −1 olduqda 3x mənfi alınır, ona görə cavab yalnız x = 4-dür. Mürəkkəb tənliklərdə t = logₐx kimi yeni dəyişən daxil etmək işi asanlaşdırır.

Question 22

Loqarifmin əsas düsturları hansılardır?

Accepted Answer

Əsas xassələr (x, y > 0): logₐ(xy) = logₐx + logₐy, logₐ(x/y) = logₐx − logₐy və logₐ(xⁿ) = n logₐx. Bunlara logₐ1 = 0, logₐa = 1 bərabərliklərini və əsas loqarifmik eyniliyi əlavə et: a ədədinin logₐb qüvvəti b-yə bərabərdir. Yeni əsasa keçid düsturu logₐb = lg b / lg a həm hesablamada, həm də müxtəlif əsaslı loqarifmləri müqayisə edəndə işə yarayır. Tez-tez edilən səhv: logₐ(x + y) cəmin loqarifmidir və logₐx + logₐy cəminə bərabər deyil.

Question 23

Triqonometriya nədir?

Accepted Answer

Triqonometriya üçbucağın bucaqları ilə tərəfləri arasındakı əlaqələri və bu əlaqələrdən yaranan sinus, kosinus, tangens kimi funksiyaları öyrənən riyaziyyat bölməsidir. Məktəbdə o, düzbucaqlı üçbucaqdan başlayır, sonra vahid çevrəyə, triqonometrik eyniliklərə, tənliklərə və qrafiklərə keçir. Bucaqlar dərəcə ilə yanaşı radianla da ölçülür: 180° = π radian. Triqonometriya həndəsədə, fizikada (rəqslər, dalğalar) və mühəndislikdə geniş işlənir.

Question 24

Triqonometrik tənliklər necə həll olunur?

Accepted Answer

Məqsəd tənliyi eyniliklər, vuruqlara ayırma və ya yeni dəyişən vasitəsilə sin x = a, cos x = a, tg x = a kimi sadə tənliklərə gətirməkdir. Sadə tənliklərin həlləri: sin x = a üçün x = (−1)ⁿ arcsin a + πn, cos x = a üçün x = ±arccos a + 2πn, tg x = a üçün x = arctg a + πn, n ∈ Z; sin və cos üçün |a| > 1 olduqda həll yoxdur. Məsələn, 2sin x − 1 = 0 → sin x = 1/2 → x = (−1)ⁿ π/6 + πn. Periodu yazmağı unutma, müəyyən aralıqdakı köklər soruşulursa, n-ə ardıcıl qiymətlər verib uyğun gələnləri seç.

Question 25

Sinus, kosinus və tangens nədir?

Accepted Answer

Düzbucaqlı üçbucaqda iti α bucağının sinusu qarşısındakı katetin hipotenuza, kosinusu bitişik katetin hipotenuza, tangensi isə qarşısındakı katetin bitişik katetə nisbətidir. Vahid çevrədə α bucağına uyğun nöqtənin koordinatları (cos α; sin α) olur, tg α = sin α / cos α. Ən çox lazım olan qiymətlər: sin 30° = cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1. Əsas eynilik sin²α + cos²α = 1 bir funksiyanın qiymətini bilib digərini tapmağa imkan verir.

Question 26

Ədədi silsilə nədir?

Accepted Answer

Ədədi silsilə hər həddi əvvəlkinə eyni d ədədini (silsilənin fərqini) əlavə etməklə alınan ardıcıllıqdır, məsələn, 2, 5, 8, 11, ... (d = 3). Silsilənin n-ci həddi aₙ = a₁ + (n − 1)d, ilk n həddin cəmi isə Sₙ = (a₁ + aₙ)n/2 düsturu ilə tapılır: bu silsilədə a₁₀ = 2 + 9 × 3 = 29, S₁₀ = (2 + 29) × 10/2 = 155. Əsas xassə: kənar hədlərdən başqa hər hədd qonşu iki həddin ədədi ortasıdır. Bu xassə ilə üç ədədin ədədi silsilə təşkil edib-etmədiyini asanlıqla yoxlamaq olar.

Question 27

Həndəsi silsilə nədir?

Accepted Answer

Həndəsi silsilə sıfırdan fərqli ədədlərdən ibarət elə ardıcıllıqdır ki, hər həddi əvvəlkini eyni q ədədinə (silsilənin vuruğuna) vurmaqla alınır, məsələn, 3, 6, 12, 24, ... (q = 2). Silsilənin n-ci həddi bₙ = b₁qⁿ⁻¹, ilk n həddin cəmi isə q ≠ 1 olduqda Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1) düsturu ilə tapılır: bu silsilədə b₆ = 3 × 2⁵ = 96. Vuruğun modulu 1-dən kiçik olduqda (|q| < 1) sonsuz azalan həndəsi silsilənin cəmi S = b₁/(1 − q) düsturu ilə hesablanır, məsələn, 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2.

Question 28

Funksiya nədir?

Accepted Answer

Funksiya elə qaydadır ki, təyin oblastındakı hər x ədədinə yalnız bir y qiyməti uyğun gəlir; bu, y = f(x) kimi yazılır. x-in ala biləcəyi bütün qiymətlər təyin oblastı, y-in aldığı qiymətlər isə qiymətlər çoxluğu adlanır. Funksiya düsturla, cədvəllə və ya qrafiklə verilə bilər: məsələn, y = 2x + 1 xətti, y = x² isə kvadratik funksiyadır. Qrafikin funksiyaya aid olub-olmadığını şaquli xətlə yoxlamaq olar: hər şaquli xətt qrafiki ən çoxu bir nöqtədə kəsməlidir.

Question 29

Funksiyanın qrafiki necə qurulur?

Accepted Answer

Əvvəlcə təyin oblastını, oxlarla kəsişmə nöqtələrini və mümkünsə funksiyanın artma və azalma aralıqlarını tap, sonra bir neçə nöqtədən cədvəl qurub onları hamar xətlə birləşdir. Əsas qrafikləri (düz xətt, parabola, hiperbola, y = √x, y = |x|) yadda saxla və çevirmələrdən istifadə et: a, b > 0 olduqda f(x) + b qrafiki b vahid yuxarı, f(x − a) isə a vahid sağa sürüşür. Parabolada əvvəlcə təpəni tap: x₀ = −b/(2a). OrujovAI-nin çatında “y = x² − 2x − 3 funksiyasının qrafikini çək” yazsan, qrafik qurulur, onu böyüdüb sürüşdürə bilərsən.

Question 30

Törəmə nədir?

Accepted Answer

Törəmə funksiyanın dəyişmə sürətidir: f'(x) arqumentin artımı sıfıra yaxınlaşdıqca funksiyanın artımının arqumentin artımına nisbətinin limitidir. Həndəsi mənası: törəmə qrafikə həmin nöqtədə çəkilmiş toxunanın bucaq əmsalıdır, fiziki mənası isə: yolun zamana görə törəməsi sürətdir. Törəmə müsbət olan aralıqda funksiya artır, mənfi olan aralıqda azalır, işarəsini dəyişdiyi nöqtələrdə isə maksimum və ya minimum olur. Ona görə törəmə ən böyük və ən kiçik qiymət məsələlərinin əsas alətidir.

Question 31

Törəmə necə hesablanır?

Accepted Answer

Törəmələr cədvəlini və bir neçə qaydanı bilmək kifayətdir: (c)' = 0, (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x. Cəmin törəməsi törəmələrin cəminə bərabərdir, sabit vuruq törəmə işarəsi xaricinə çıxır, hasil üçün (uv)' = u'v + uv', nisbət üçün isə (u/v)' = (u'v − uv')/v². Məsələn, f(x) = 3x⁴ − 2x + 5 üçün f'(x) = 12x³ − 2. Öz həllini yoxlamaq istəsən, məsələni OrujovAI-nin “Həll et” bölməsinə yaz və addımları özününkü ilə tutuşdur.

Question 32

Mürəkkəb funksiyanın törəməsi necə tapılır?

Accepted Answer

f(g(x)) şəklindəki mürəkkəb funksiyanın törəməsi xarici funksiyanın daxili arqumentə görə törəməsi ilə daxili funksiyanın törəməsinin hasilidir: (f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x). Məsələn, ((3x + 1)⁵)' = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴, (sin 2x)' = 2cos 2x. Əvvəlcə xarici və daxili funksiyanı ayır, daxilini dəyişmədən saxlayıb xaricinin törəməsini al, sonra nəticəni daxilinin törəməsinə vur. Ən çox edilən səhv məhz bu sonuncu vurmanı unutmaqdır.

Question 33

İnteqral nədir?

Accepted Answer

İnteqral törəmənin tərs əməliyyatıdır: F'(x) = f(x) olarsa, F(x) funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyası adlanır, qeyri-müəyyən inteqral isə ∫f(x)dx = F(x) + C kimi yazılır. Müəyyən inteqral ədəddir: f(x) ≥ 0 olduqda o, [a; b] parçasında qrafiklə Ox oxu arasında qalan əyrixətli trapesiyanın sahəsinə bərabərdir. Onu Nyuton–Leybnis düsturu ilə hesablayırlar: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). İnteqrallarla sahə və həcm, fizikada isə yol və iş kimi kəmiyyətlər tapılır.

Question 34

İnteqral necə hesablanır?

Accepted Answer

Qeyri-müəyyən inteqral üçün əsas cədvəldən istifadə et: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫(1/x)dx = ln|x| + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫eˣdx = eˣ + C. Cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir, sabit vuruq inteqral işarəsi xaricinə çıxır: ∫(4x³ + 2x)dx = x⁴ + x² + C. Müəyyən inteqralda ibtidai funksiyanı tapıb onun yuxarı və aşağı sərhəddəki qiymətlərinin fərqini alırsan: ∫₀² x²dx = 2³/3 − 0 = 8/3. Yoxlamaq asandır: cavabın törəməsini al, inteqralaltı funksiya alınmalıdır.

Question 35

Limit nədir və necə hesablanır?

Accepted Answer

Limit x müəyyən ədədə və ya sonsuzluğa yaxınlaşdıqca f(x)-in yaxınlaşdığı qiymətdir. Əvvəlcə x-in qiymətini birbaşa yerinə qoy: ədəd alınırsa, cavab odur. 0/0 alınırsa, ifadəni vuruqlara ayırıb ixtisar et və ya qoşma ifadəyə vur: x → 2 olduqda (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 → 4. x → ∞ olduqda surəti və məxrəci x-in ən böyük qüvvətinə böl, x → 0 olduqda isə birinci görkəmli limiti xatırla: sin x / x → 1.

Question 36

Pifaqor teoremi nədir?

Accepted Answer

Pifaqor teoremi deyir ki, düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir: c² = a² + b². Hipotenuz düz bucağın qarşısında yerləşən ən uzun tərəfdir. Tərs teorem də doğrudur: üçbucağın tərəfləri c² = a² + b² bərabərliyini ödəyirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Ən çox rast gəlinən tam ədədli üçlüklər 3, 4, 5 və 5, 12, 13-dür, onların misilləri də (məsələn, 6, 8, 10) uyğundur.

Question 37

Pifaqor teoremi ilə məsələ necə həll olunur?

Accepted Answer

Çertyojda düzbucaqlı üçbucağı tap və ya köməkçi xətlə yarat, hipotenuzu müəyyən et, sonra məchul tərəfi düsturdan tap: katet a = √(c² − b²), hipotenuz c = √(a² + b²). Məsələn, uzunluğu 5 m olan nərdivanın aşağı ucu divardan 3 m aralıdırsa, yuxarı ucu √(25 − 9) = 4 m hündürlükdədir. Düzbucaqlının diaqonalı, bərabəryanlı üçbucağın hündürlüyü və koordinat müstəvisində iki nöqtə arasındakı məsafə də eyni yolla tapılır. Mövzunu sıfırdan səslə dinləmək istəsən, OrujovAI-də Canlı Müəllimin pulsuz Pifaqor teoremi dərsindən başla, bu nərdivan məsələsi orada da var.

Question 38

Üçbucağın sahəsi necə hesablanır?

Accepted Answer

Ən geniş yayılmış düstur S = ½ah düsturudur, burada a tərəf, h isə həmin tərəfə endirilmiş hündürlükdür: oturacağı 10, hündürlüyü 6 olan üçbucağın sahəsi 30-dur. İki tərəf və aralarındakı bucaq məlumdursa, S = ½ab sin C, üç tərəf məlumdursa, Heron düsturu işlənir: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), burada p yarımperimetrdir. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi katetlərin hasilinin yarısına, tərəfi a olan bərabərtərəfli üçbucağın sahəsi isə a²√3/4-ə bərabərdir.

Question 39

Dairənin sahəsi və çevrənin uzunluğu necə tapılır?

Accepted Answer

Radiusu r olan dairənin sahəsi S = πr², çevrənin uzunluğu isə L = 2πr = πd düsturu ilə tapılır, burada d diametrdir. Məsələn, r = 5 sm olduqda S = 25π ≈ 78,5 sm², L = 10π ≈ 31,4 sm. Testlərdə cavab çox vaxt π ilə yazılır, ona görə şərt tələb etmirsə, π-ni 3,14 ilə əvəz etməyə tələsmə. Diametr verilibsə, əvvəlcə onu yarıya bölüb radiusu tap, çünki sahə düsturu diametrlə yox, radiusla yazılır.

Question 40

Çoxbucaqlının daxili bucaqlarının cəmi necə tapılır?

Accepted Answer

Qabarıq n-bucaqlının daxili bucaqlarının cəmi 180°(n − 2) düsturu ilə tapılır: dördbucaqlıda 360°, beşbucaqlıda 540°, altıbucaqlıda 720°. Səbəbi sadədir: bir təpədən çəkilən diaqonallar çoxbucaqlını n − 2 üçbucağa bölür, hər üçbucağın bucaqları cəmi isə 180°-dir. Düzgün çoxbucaqlının hər bucağı 180°(n − 2)/n düsturu ilə tapılır, məsələn, düzgün altıbucaqlıda 120°. Hər təpədə bir xarici bucaq götürsək, xarici bucaqların cəmi həmişə 360°-dir.

Question 41

Prizmanın həcmi necə hesablanır?

Accepted Answer

Prizmanın həcmi oturacağın sahəsi ilə hündürlüyün hasilinə bərabərdir: V = S × h. Düzbucaqlı paralelepipeddə bu, V = abc, kubda isə V = a³ olur. Məsələn, oturacağı katetləri 3 və 4 olan düzbucaqlı üçbucaq, hündürlüyü 10 olan prizmada S = ½ × 3 × 4 = 6, V = 6 × 10 = 60. Maili prizmada hündürlük yan tilin uzunluğu deyil, oturacaqlar arasındakı perpendikulyar məsafədir.

Question 42

Piramidanın həcmi necə tapılır?

Accepted Answer

Piramidanın həcmi oturacağın sahəsi ilə hündürlüyün hasilinin üçdə birinə bərabərdir: V = ⅓Sh. Məsələn, oturacağı tərəfi 6 olan kvadrat, hündürlüyü 5 olan piramidada S = 36, V = ⅓ × 36 × 5 = 60. Deməli, oturacağı və hündürlüyü eyni olan piramidanın həcmi prizmanın həcminin üçdə biri qədərdir, konusun həcmi (V = ⅓πr²h) də eyni məntiqlə tapılır. Hündürlük verilməyibsə, onu adətən piramidanın içindəki düzbucaqlı üçbucaqdan Pifaqor teoremi ilə tapırsan.

Question 43

Vektor nədir?

Accepted Answer

Vektor həm uzunluğu, həm də istiqaməti olan kəmiyyətdir və istiqamətlənmiş parça ilə göstərilir; fizikadan qüvvə və sürət buna misaldır. Müstəvidə vektor koordinatlarla verilir: a(x; y) vektorunun uzunluğu √(x² + y²) düsturu ilə tapılır, toplama və ədədə vurma isə koordinatlar üzrə aparılır. a(x₁; y₁) və b(x₂; y₂) vektorlarının skalyar hasili x₁x₂ + y₁y₂ ifadəsinə, eyni zamanda |a||b|cos φ ifadəsinə bərabərdir, burada φ vektorlar arasındakı bucaqdır. Skalyar hasil sıfırdırsa, vektorlar perpendikulyardır.

Question 44

Ehtimal nədir və necə hesablanır?

Accepted Answer

Ehtimal hadisənin baş vermə şansını 0 ilə 1 arasında ədədlə göstərir: 0 mümkün olmayan, 1 isə mütləq baş verən hadisədir. Bütün nəticələr eyni dərəcədə mümkün olduqda ehtimal P = m/n düsturu ilə hesablanır, burada m əlverişli nəticələrin, n isə bütün nəticələrin sayıdır. Məsələn, zər atanda cüt xal düşməsi ehtimalı 3/6 = 1/2-dir. Hadisənin baş verməməsi ehtimalı isə 1 − P düsturu ilə tapılır.

Question 45

Ehtimal məsələləri necə həll olunur?

Accepted Answer

Əvvəlcə bütün mümkün nəticələri və onlardan əlverişli olanları dəqiq say: kiçik məsələlərdə siyahı və ya cədvəl, böyüklərdə kombinatorika düsturları kömək edir. Bir-birindən asılı olmayan hadisələrin birlikdə baş verməsi ehtimalı vurulur, bir-birini istisna edən hadisələrdən birinin baş verməsi ehtimalı isə toplanır. “Heç olmasa bir” sözləri olan məsələlərdə əks hadisədən getmək daha tezdir: iki sikkə atanda heç olmasa bir gerb düşməsi ehtimalı 1 − 1/4 = 3/4-dür. Cavab həmişə 0 ilə 1 arasında olmalıdır, böyük alınıbsa, hesabda səhv var.

Question 46

Kombinatorika nədir?

Accepted Answer

Kombinatorika elementləri seçmək və düzmək yollarının sayını hesablayan riyaziyyat bölməsidir. n müxtəlif elementin yerdəyişmələrinin sayı n!, n elementdən k elementin sıra nəzərə alınmaqla seçilməsi (yerləşdirmə) Aₙᵏ = n!/(n − k)!, sıra nəzərə alınmadan seçilməsi (birləşmə) isə Cₙᵏ = n!/(k!(n − k)!) düsturu ilə hesablanır. Məsələn, 5 nəfərdən 2 nəfərlik komandanı 10 yolla (C₅²), sədr və müavini isə 5 × 4 = 20 yolla seçmək olar. Hər məsələdə əsas sual budur: sıra vacibdirmi?

Question 47

Hərəkətə aid məsələlər necə həll olunur?

Accepted Answer

Bütün hərəkət məsələləri S = vt düsturuna əsaslanır, ona görə hər obyekt üçün yolu, sürəti və zamanı cədvələ yaz və sxem çək. Qarşı-qarşıya hərəkətdə sürətlər toplanır (yaxınlaşma sürəti), eyni istiqamətdə hərəkətdə isə çıxılır: aralarındakı məsafə 300 km olan iki maşın 60 və 90 km/saat sürətlə bir-birinə doğru yola düşsə, 300 : 150 = 2 saatdan sonra görüşər. Çayda axın üzrə sürət v + v₀, axına qarşı isə v − v₀ olur, burada v₀ axının sürətidir. Vahidləri eyniləşdirməyi unutma: dəqiqəni saata, metri kilometrə çevir.

Question 48

İşə aid məsələlər necə həll olunur?

Accepted Answer

Bütün işi 1 götür: işi t saata görən birinin məhsuldarlığı saatda 1/t olur, birlikdə işləyəndə isə məhsuldarlıqlar toplanır. Məsələn, birinci usta işi 6 saata, ikinci 3 saata görürsə, birlikdə saatda 1/6 + 1/3 = 1/2 hissə görürlər, deməli, bütün iş 2 saata bitir. Hovuz və borular məsələləri də eyni qayda ilə həll olunur, sadəcə boşaldan borunun məhsuldarlığı mənfi götürülür. Cavabı ağlabatanlığa yoxla: birgə vaxt ən cəld işçinin tək vaxtından az olmalıdır.

Question 49

Qarışığa aid məsələlər necə həll olunur?

Accepted Answer

Əsas fikir budur: qarışdıranda faizlər yox, təmiz maddənin miqdarı toplanır. Hər məhlul üçün təmiz maddənin miqdarını kütlənin qatılığa hasili kimi hesabla: 10%-li 200 q və 20%-li 300 q məhlul qarışdırılsa, təmiz maddə 20 + 60 = 80 q, qarışığın kütləsi 500 q, qatılıq isə 80/500 = 16% olur. Su əlavə edəndə maddənin miqdarı dəyişmir, yalnız ümumi kütlə artır, buxarlananda isə əksinə. Ərintilərə aid məsələlər də eyni yolla həll olunur, sadəcə məhlulun yerinə metal götürülür.

Question 50

Proporsiya necə həll olunur?

Accepted Answer

Proporsiya iki nisbətin bərabərliyidir (a/b = c/d), əsas xassəsi isə belədir: kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir, yəni ad = bc. Məsələn, x/4 = 15/6 olduqda 6x = 60, x = 10. Mətnli məsələdə əvvəlcə kəmiyyətlərin düz, yoxsa tərs mütənasib olduğunu müəyyən et: 3 kq alma 6 manatdırsa, 5 kq 10 manatdır (düz mütənasiblik), 4 fəhlə işi 6 günə görürsə, 8 fəhlə 3 günə görər (tərs mütənasiblik).

Question 51

Matris nədir?

Accepted Answer

Matris ədədlərin sətir və sütunlardan ibarət düzbucaqlı cədvəlidir; m sətir və n sütunu olan matris m × n ölçülü adlanır. Eyni ölçülü matrislər element-element toplanır, matrisi ədədə vuranda hər element o ədədə vurulur, iki matrisin hasili isə “sətir sütuna” qaydası ilə tapılır və yalnız birincinin sütun sayı ikincinin sətir sayına bərabər olanda mümkündür. 2 × 2 ölçülü matrisin determinantı ad − bc düsturu ilə hesablanır, burada a, b birinci, c, d isə ikinci sətrin elementləridir. Matrislər xətti tənliklər sistemlərini yığcam yazmaq və həll etmək üçün, həmçinin kompüter qrafikasında və verilənlərin emalında işlənir.

Question 52

Riyaziyyat düsturlarını necə tez yadda saxlamaq olar?

Accepted Answer

Əzbərləməkdən daha etibarlı yol düsturun haradan gəldiyini başa düşməkdir: çoxbucaqlının bucaqları cəmini üçbucaqlara bölməklə, ədədi silsilənin cəmini hədləri cüt-cüt toplamaqla bir dəfə özün çıxarsan, unutmaq çətinləşir. Öz düstur vərəqini əl ilə yaz, sonra ona baxmadan yenidən yazmağa çalış və hər düsturu dərhal 2–3 məsələdə işlət. Təkrarı aralıqlarla et: bir gün, üç gün, bir həftə sonra. OrujovAI-nin çatından “loqarifm düsturları üçün yaddaş kartları düzəlt” deyə xahiş etsən, kartlar elə söhbətin içində açılır.

Question 53

Riyaziyyatdan DİM formatında testləri haradan tapım?

Accepted Answer

Ən etibarlı mənbə DİM-in özüdür: o, tapşırıqların izahı və düzgün cavabları verilən test topluları və “Abituriyent” jurnalını nəşr edir, öz sınaq imtahanlarını da keçirir, hamısı barədə məlumat dim.gov.az-dadır. Hazırlıq mərkəzləri və saytlar da DİM formatında testlər hazırlayır, amma keyfiyyətləri fərqlidir, ona görə nəşr ilinə və hazırkı modelə uyğunluğa bax. OrujovAI-nin imtahan məşqində riyaziyyatdan üç səviyyədə DİM formatında qısa testlər işləyə bilərsən, hər sualın izahı ilə; bunlar rəsmi tapşırıqlar deyil, məşq üçündür və hələlik yalnız variantlıdır, ona görə kodlaşdırılan və yazılı tapşırıqları DİM-in materialları ilə işlə.

Question 54

Məntiq məsələləri necə həll olunur?

Accepted Answer

Şərti diqqətlə, lazım olsa iki dəfə oxu və hər faktı qısa qeyd et, çünki məntiq məsələlərində bircə söz (“ən azı”, “yalnız”, “heç biri”) bütün həlli dəyişə bilər. Variantlar çoxdursa, cədvəl qur və mümkün olmayan halları bir-bir sil, ədəd ardıcıllıqlarında isə qonşu hədlər arasındakı fərqə, nisbətə və təkrarlanan quruluşa bax. Başqa faydalı üsullar: kiçik halları sınamaq, sondan əvvələ doğru düşünmək və cüt-təklik kimi sadə xassələri yoxlamaq. Tapdığın cavabı bütün şərtlərlə tutuşdur: bircə şərt belə ödənmirsə, həll düz deyil.

Question 55

Həndəsə məsələlərini həll etməyi necə öyrənim?

Accepted Answer

Əvvəlcə tərifləri və əsas teoremləri möhkəm öyrən: üçbucaqların bərabərlik və oxşarlıq əlamətləri, Pifaqor teoremi, paralel düz xətlərdə əmələ gələn bucaqlar, çevrədə bucaqlar və sahə düsturları. Hər məsələdə böyük, səliqəli çertyoj çək, verilənləri üzərində qeyd et və düzbucaqlı və ya oxşar üçbucaqlar axtar; lazım olanda hündürlük, diaqonal kimi köməkçi xətt çək. Tipik məsələləri mövzu-mövzu həll et və həll ideyalarını ayrıca dəftərə yaz, çünki həndəsədə eyni fikirlər təkrar-təkrar qarşına çıxır. İlişəndə çertyojun fotosunu OrujovAI-də “Həll et” bölməsinə yüklə, amma ipucu kimi əvvəlcə yalnız ilk addımı aç.

Question 56

Riyaziyyatdan açıq sualların cavabını necə yazmaq lazımdır?

Accepted Answer

DİM imtahanlarında açıq tapşırıqlar iki növdür: cavabı kodlaşdırılan tapşırıqda yalnız son cavab yoxlanılır, ona görə hesabı iki dəfə yoxla və cavabı vərəqdəki nümunəyə uyğun kodlaşdır, yazılı tapşırıqda isə həllin özü qiymətləndirilir. Yazılı həldə nə verildiyini, hansı düsturu niyə işlətdiyini, hesablamaları və aydın son cavabı yaz; DİM-in 2027-ci il qəbulu üçün açıqladığı modelə görə riyaziyyatdan bir tapşırıq isbata aid olacaq, orada hər keçidi teorem və ya tərifə əsaslandır. Yazılı tapşırıqlar meyarlarla hissə-hissə qiymətləndirildiyi üçün həlli sona çatdıra bilməsən də, düzgün başladığın hissəni yaz. Nümunələri DİM-in nəşrlərində tap, öz həllini isə müəllimə və ya süni intellektə “qiymətləndirici kimi yoxla: hansı addım çatışmır?” deyə göstər.