Гипотеза Планка

В $1900$ году М. Планк предположил, что атомы излучают электромагнитную энергию не непрерывно, а отдельными порциями — квантами. Энергия одного кванта прямо пропорциональна частоте излучения (формула Планка):

E = h\nu = \frac{hc}{\lambda},

где $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}$ Дж $\cdot$ с — постоянная Планка, $\nu$ — частота, $\lambda$ — длина волны. Затем А. Эйнштейн показал, что свет не только излучается, но и распространяется и поглощается квантами. Квант света называют фотоном.

Фотон и его свойства

Фотон всегда движется в вакууме со скоростью $c = 3 \cdot 10^8$ м/с; покоящихся фотонов нет, масса покоя фотона равна нулю.
Фотон не имеет электрического заряда.
Энергия фотона $E = h\nu$ , импульс $p = \dfrac{E}{c} = \dfrac{h\nu}{c} = \dfrac{h}{\lambda}$ .
Чем больше частота, тем больше энергия фотона: фотон фиолетового света энергичнее фотона красного, а рентгеновский фотон — фотона видимого света.

В микромире энергию часто выражают в электронвольтах: $1$ эВ $= 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Дж.

Фотоэффект и его законы

Фотоэффект — вырывание электронов из вещества под действием света. Явление открыл Г. Герц, а подробно экспериментально исследовал А. Г. Столетов. Законы фотоэффекта:

Число электронов, вырываемых за единицу времени (ток насыщения), прямо пропорционально интенсивности падающего света.
Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно растёт с частотой света и не зависит от его интенсивности.
Для каждого вещества существует красная граница: если частота света меньше некоторого $\nu_{\min}$ , фотоэффект не происходит, какой бы большой ни была интенсивность.
Фотоэффект начинается сразу после освещения, практически без запаздывания.

Волновая теория света не могла объяснить прежде всего 2-й и 3-й законы.

Уравнение Эйнштейна, работа выхода и красная граница

Фотон целиком передаёт свою энергию одному электрону. Часть этой энергии идёт на то, чтобы вырвать электрон из вещества (работа выхода $A$ ), остальное — на кинетическую энергию электрона:

h\nu = A + \frac{mv_{\max}^2}{2}.

Работа выхода — минимальная работа, необходимая для удаления электрона из вещества; она зависит только от рода вещества.

Если кинетическая энергия равна нулю, получаем красную границу:

\nu_{\min} = \frac{A}{h},

\lambda_{\max} = \frac{hc}{A}.

При $\nu < \nu_{\min}$ , то есть при $\lambda > \lambda_{\max}$ , фотоэффекта нет. Для задерживающего напряжения $U$ , которое полностью останавливает фотоэлектроны, $eU = \dfrac{mv_{\max}^2}{2}$ .

Фотоэлементы и применение фотоэффекта

Вакуумный фотоэлемент — стеклянный баллон, часть внутренней поверхности которого покрыта светочувствительным слоем (катод); внутри находится и анод. При освещении из катода вылетают электроны и в цепи возникает ток, а когда свет перекрывают, ток прекращается. Такие приборы применяют в автоматических дверях, турникетах, фотореле и люксметрах.

Полупроводниковые фотоэлементы (например, солнечные батареи) превращают энергию света непосредственно в электрическую; в них используется внутренний фотоэффект.

Запомните

Формула Планка: $E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}$ , $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}$ Дж $\cdot$ с.
Импульс фотона $p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{E}{c}$ ; масса покоя равна нулю.
Уравнение Эйнштейна: $h\nu = A + \dfrac{mv_{\max}^2}{2}$ .
Красная граница: $\nu_{\min} = \dfrac{A}{h}$ , $\lambda_{\max} = \dfrac{hc}{A}$ .
Интенсивность определяет число фотоэлектронов, а частота — их максимальную энергию.

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите энергию (в джоулях и электронвольтах) и импульс фотона света с длиной волны $500$ нм.
Решение
$\lambda = 500$ нм $= 5 \cdot 10^{-7}$ м.

Энергия:

$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{5 \cdot 10^{-7}} \approx 3{,}98 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}.$

В электронвольтах: $E = \dfrac{3{,}98 \cdot 10^{-19}}{1{,}6 \cdot 10^{-19}} \approx 2{,}5$ эВ.

Импульс:

$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{5 \cdot 10^{-7}} \approx 1{,}33 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot \text{м/с}.$

Ответ: $\approx 3{,}98 \cdot 10^{-19}$ Дж $\approx 2{,}5$ эВ; $\approx 1{,}33 \cdot 10^{-27}$ кг $\cdot$ м/с.
Пример 2
На поверхность металла с работой выхода $2$ эВ падают фотоны с энергией $5$ эВ. Найдите максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов, задерживающее напряжение и красную границу фотоэффекта (длину волны) для этого металла.
Решение
Из уравнения Эйнштейна:

$E_k = h\nu - A = 5 - 2 = 3 \text{ эВ} = 3 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 4{,}8 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}.$

Задерживающее напряжение: $eU = E_k$ , значит, $U = 3$ В.

Красная граница: $A = 2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} = 3{,}2 \cdot 10^{-19}$ Дж,

$\lambda_{\max} = \frac{hc}{A} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3 \cdot 10^8}{3{,}2 \cdot 10^{-19}} \approx 6{,}2 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 620 \text{ нм}.$

Ответ: $3$ эВ; $3$ В; $\approx 620$ нм.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Как изменится импульс фотона, если его частоту увеличить в $2$ раза?
1. уменьшится в $2$ раза
2. увеличится в $4$ раза
3. не изменится
4. увеличится в $2$ раза
5. уменьшится в $4$ раза
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D увеличится в $2$ раза
$p = \dfrac{h\nu}{c}$ , то есть импульс прямо пропорционален частоте: при увеличении частоты в $2$ раза импульс тоже увеличивается в $2$ раза.
Интенсивность света, падающего на металл, увеличили в $3$ раза, не меняя частоту. Что изменится?
1. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов увеличится в $3$ раза
2. Ток насыщения увеличится в $3$ раза
3. Работа выхода уменьшится в $3$ раза
4. Длина волны красной границы увеличится в $3$ раза
5. Ничего не изменится
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B Ток насыщения увеличится в $3$ раза
При росте интенсивности за единицу времени падает больше фотонов, поэтому число вырванных электронов и ток насыщения увеличиваются в $3$ раза. Энергия каждого фотона $h\nu$ не меняется, значит, не меняется и максимальная кинетическая энергия; работа выхода и красная граница зависят только от металла.
На поверхность металла падают фотоны с энергией $6$ эВ. Чтобы полностью остановить фотоэлектроны, нужно задерживающее напряжение $2$ В. Чему равна работа выхода электрона из этого металла?
1. $8$ эВ
2. $2$ эВ
3. $3$ эВ
4. $12$ эВ
5. $4$ эВ
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $4$ эВ
Максимальная кинетическая энергия $E_k = eU = 2$ эВ. Из уравнения Эйнштейна $A = h\nu - E_k = 6 - 2 = 4$ эВ.

Типичные ошибки

Считать, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов зависит от интенсивности света; она зависит только от частоты и работы выхода.
Забывать переводить электронвольты в джоули ( $1$ эВ $= 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Дж) и нанометры в метры ( $1$ нм $= 10^{-9}$ м).
Понимать красную границу наоборот: фотоэффект происходит при $\lambda < \lambda_{\max}$ , то есть при $\nu > \nu_{\min}$ , а при длине волны больше граничной его нет.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото