Колебательный контур и превращения энергии

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора ( $C$ ) и катушки ( $L$ ). Если заряженный конденсатор замкнуть на катушку, он начнёт разряжаться, но самоиндукция не даёт току вырасти мгновенно. Когда конденсатор полностью разрядится, ток максимален; затем ток перезаряжает конденсатор с противоположным знаком. Так возникают свободные электромагнитные колебания: заряд, напряжение и сила тока меняются по гармоническому закону:

q = q_m\cos\omega t,

i = -I_m\sin\omega t,

I_m = \omega q_m.

Энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки и обратно. В идеальном контуре ( $R = 0$ ) полная энергия постоянна:

W = \frac{q^2}{2C} + \frac{Li^2}{2} = \frac{q_m^2}{2C} = \frac{CU_m^2}{2} = \frac{LI_m^2}{2}.

В реальном контуре есть активное сопротивление, энергия постепенно переходит в тепло, и колебания затухают.

Формула Томсона

Период собственных колебаний контура находят по формуле Томсона:

T = 2\pi\sqrt{LC},

\nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},

\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.

Это аналог формулы пружинного маятника $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ : индуктивность играет роль массы, $\frac{1}{C}$ — роль жёсткости, заряд — смещения, ток — скорости.

Полезные следствия:

заряд уменьшается от максимума до нуля за $\frac{T}{4}$ ;
энергия электрического (и магнитного) поля колеблется с периодом $\frac{T}{2}$ , то есть с частотой $2\nu$ ;
не забывайте переводить единицы: 1 мкФ $= 10^{-6}$ Ф, 1 пФ $= 10^{-12}$ Ф, 1 мГн $= 10^{-3}$ Гн.

Вынужденные колебания и резонанс

Если на контур действует периодически меняющаяся внешняя ЭДС, в нём устанавливаются вынужденные электромагнитные колебания с частотой этой ЭДС. Когда частота внешней ЭДС совпадает с собственной частотой контура ( $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ), амплитуда силы тока резко возрастает — это резонанс. Чем меньше активное сопротивление контура, тем острее резонанс. Настраивая радиоприёмник на станцию, мы конденсатором переменной ёмкости делаем собственную частоту контура равной частоте станции.

Электромагнитное поле и волны

По теории Максвелла переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, а переменное электрическое поле — магнитное. Эти поля, непрерывно порождающие друг друга, образуют электромагнитное поле, а его распространение в пространстве — это электромагнитная волна. Волны излучают заряды, движущиеся с ускорением, например открытый колебательный контур (антенна).

Волна поперечная: векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ перпендикулярны друг другу и направлению распространения.
Скорость в вакууме $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}} \approx 3 \cdot 10^8$ м/с, в среде $v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$ .
Длина волны $\lambda = cT = \frac{c}{\nu}$ ; для контура $\lambda = 2\pi c\sqrt{LC}$ .
Мощность излучения $P$ — энергия, излучаемая за единицу времени. Плотность потока излучения (интенсивность) $I = \frac{W}{S\,\Delta t}$ (Вт/м²): от точечного источника $I \sim \frac{1}{R^2}$ , а при одинаковой амплитуде колебаний зарядов $I \sim \nu^4$ . Поэтому для излучения нужны высокие частоты.

Шкала волн, радиолокация и радиосвязь

Шкала электромагнитных волн в порядке роста частоты (уменьшения длины волны): радиоволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновское излучение, гамма-излучение. Природа у всех одна, скорость в вакууме равна $c$ .

Радиолокация основана на отражении радиоволн от объектов. Сигнал проходит путь до цели и обратно, поэтому расстояние $R = \frac{ct}{2}$ .

Радиосвязь. Колебания звуковой частоты излучаются слабо, поэтому используют высокочастотные несущие колебания. При модуляции амплитуду несущих колебаний изменяют в такт звуковому сигналу (амплитудная модуляция). В приёмнике станцию выделяют с помощью резонанса, затем при детектировании (с помощью диода и конденсатора) из модулированных колебаний выделяют сигнал звуковой частоты и подают его на динамик.

Применение: радио и телевидение, мобильная связь, Wi-Fi, спутниковая навигация, СВЧ-печи, рентгеновская диагностика в медицине.

Запомните

Формула Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$ , $\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ .
Энергия контура: $W = \frac{q_m^2}{2C} = \frac{CU_m^2}{2} = \frac{LI_m^2}{2}$ ; $I_m = \omega q_m$ .
Резонанс: при совпадении частоты внешней ЭДС с собственной частотой контура амплитуда тока максимальна.
Электромагнитная волна поперечная; $c = 3 \cdot 10^8$ м/с, $\lambda = \frac{c}{\nu}$ .
Радиолокация: $R = \frac{ct}{2}$ .
Интенсивность: $I \sim \nu^4$ , от точечного источника $I \sim \frac{1}{R^2}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
В колебательном контуре ёмкость конденсатора $4$ мкФ, индуктивность катушки $10$ мГн. Максимальное напряжение на конденсаторе $100$ В. Найдите период колебаний, полную энергию контура и максимальную силу тока ( $\pi \approx 3{,}14$ ).
Решение
1. Переводим в СИ: $C = 4 \cdot 10^{-6}$ Ф, $L = 10^{-2}$ Гн.
2. Формула Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{10^{-2} \cdot 4 \cdot 10^{-6}} = 2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-4} = 4\pi \cdot 10^{-4} \approx 1{,}26 \cdot 10^{-3}$ с.
3. Полная энергия равна энергии электрического поля в момент максимального напряжения: $W = \frac{CU_m^2}{2} = \frac{4 \cdot 10^{-6} \cdot 100^2}{2} = 0{,}02$ Дж.
4. Когда конденсатор разряжен, вся энергия магнитная: $W = \frac{LI_m^2}{2}$ , откуда $I_m = \sqrt{\frac{2W}{L}} = \sqrt{\frac{0{,}04}{0{,}01}} = 2$ А.
Ответ: $T \approx 1{,}26$ мс; $W = 0{,}02$ Дж; $I_m = 2$ А.
Пример 2
Радиолокатор посылает короткие импульсы. Отражённый от цели сигнал принят через $200$ мкс после отправки импульса. а) Найдите расстояние до цели. б) Какова наибольшая дальность обнаружения, если радиолокатор посылает $1000$ импульсов в секунду?
Решение
а) Сигнал проходит расстояние до цели дважды: $R = \frac{ct}{2} = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot 2 \cdot 10^{-4}}{2} = 3 \cdot 10^4$ м $= 30$ км.

б) Время между импульсами $\Delta t = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$ с. Отражённый сигнал должен вернуться до следующего импульса, поэтому $R_{\max} = \frac{c\,\Delta t}{2} = \frac{3 \cdot 10^8 \cdot 10^{-3}}{2} = 1{,}5 \cdot 10^5$ м $= 150$ км.

Ответ: $30$ км; $150$ км.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Как изменится частота собственных колебаний контура, если ёмкость конденсатора увеличить в $9$ раз, а индуктивность катушки уменьшить в $4$ раза?
1. увеличится в $1{,}5$ раза
2. уменьшится в $1{,}5$ раза
3. уменьшится в $2{,}25$ раза
4. увеличится в $2{,}25$ раза
5. уменьшится в $6$ раз
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B уменьшится в $1{,}5$ раза
$\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ . Новое произведение $L'C' = \frac{L}{4} \cdot 9C = \frac{9}{4}LC$ , корень из него растёт в $\frac{3}{2}$ раза, значит частота уменьшается в $1{,}5$ раза. Вариант C ( $2{,}25$ раза) получается, если забыть корень, а вариант A — если спутать период и частоту.
Индуктивность колебательного контура $2$ мкГн, ёмкость $50$ пФ. На какой длине волны излучает контур? ( $c = 3 \cdot 10^8$ м/с)
1. $6$ м
2. $3\pi$ м
3. $6\pi$ м
4. $60\pi$ м
5. $0{,}6\pi$ м
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $6\pi$ м
$LC = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-11} = 10^{-16}$ , $\sqrt{LC} = 10^{-8}$ с. $\lambda = 2\pi c\sqrt{LC} = 2\pi \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 10^{-8} = 6\pi$ м $\approx 18{,}8$ м. $3\pi$ м получается, если потерять множитель $2$ .
Расстояние до точечного источника увеличили в $3$ раза и одновременно в $3$ раза увеличили частоту излучения (амплитуда колебаний зарядов не изменилась). Как изменится интенсивность излучения в точке приёма?
1. увеличится в $3$ раза
2. увеличится в $81$ раз
3. увеличится в $27$ раз
4. увеличится в $9$ раз
5. не изменится
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D увеличится в $9$ раз
$I \sim \frac{\nu^4}{R^2}$ . Рост частоты увеличивает интенсивность в $3^4 = 81$ раз, рост расстояния уменьшает её в $3^2 = 9$ раз: $\frac{81}{9} = 9$ , интенсивность увеличится в $9$ раз.

Типичные ошибки

Забывать корень в формуле Томсона или не переводить мкФ, пФ, мГн в единицы СИ.
Считать в радиолокации $R = ct$ : сигнал проходит путь дважды, поэтому $R = \frac{ct}{2}$ .
Думать, что энергия электрического поля меняется с периодом $T$ : энергия колеблется с периодом $\frac{T}{2}$ , а заряд падает от максимума до нуля за $\frac{T}{4}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото