Свободные колебания и их характеристики

Свободными (собственными) называют колебания, которые происходят только под действием внутренних сил после того, как систему вывели из равновесия и предоставили самой себе. Для них нужна сила, возвращающая тело к положению равновесия, и малое трение.

Амплитуда $A$ — наибольшее смещение от положения равновесия.
Период $T$ — время одного полного колебания, $T = \frac{t}{n}$ ( $n$ — число колебаний).
Частота $\nu = \frac{1}{T} = \frac{n}{t}$ , единица — герц (Гц).
Циклическая частота $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ , единица — рад/с.

Уравнение гармонических колебаний, скорость и ускорение

В пружинной системе возвращающая сила $F = -kx$ . Из второго закона Ньютона $a = -\frac{k}{m}x$ . В общем виде уравнение свободных колебаний таково:

a = -\omega^2 x.

Его решение — гармонические колебания, при которых координата меняется по закону косинуса (или синуса):

x = A\cos(\omega t + \varphi_0).

Величина $\varphi = \omega t + \varphi_0$ называется фазой колебаний, $\varphi_0$ — начальной фазой; фаза определяет состояние системы в данный момент. Скорость и ускорение тоже меняются гармонически:

v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0),

a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0).

Отсюда $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . В положении равновесия скорость максимальна, а ускорение равно нулю; в крайних точках наоборот.

Пружинный и математический маятники

Пружинный маятник — груз массой $m$ на пружине жёсткостью $k$ . Для него $\omega^2 = \frac{k}{m}$ , поэтому

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Математический маятник — материальная точка на невесомой нерастяжимой нити. При малых углах отклонения

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Период математического маятника не зависит от массы и от малой амплитуды, а период пружинного маятника не зависит от $g$ .

Энергия колебаний, затухающие и вынужденные колебания

В пружинном маятнике кинетическая энергия $\frac{mv^2}{2}$ и потенциальная $\frac{kx^2}{2}$ переходят друг в друга, а их сумма постоянна:

E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}.

В крайних точках энергия полностью потенциальная, в положении равновесия полностью кинетическая. Каждая из них меняется с частотой, вдвое большей частоты колебаний.

В реальных системах трение уменьшает энергию, и амплитуда постепенно убывает: это затухающие колебания. Колебания под действием внешней периодической силы называют вынужденными; их частота равна частоте внешней силы. Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы, называют резонансом.

Волны и звук

Распространение колебаний в упругой среде называют волной. Волна переносит энергию, но не переносит вещество: частицы среды колеблются около своих положений.

В поперечной волне частицы колеблются перпендикулярно направлению распространения; такие волны возникают в твёрдых телах и на поверхности жидкости.
В продольной волне частицы колеблются вдоль направления распространения; такие волны распространяются в твёрдых телах, жидкостях и газах.

Расстояние, на которое волна распространяется за один период, — длина волны: $\lambda = vT = \frac{v}{\nu}$ . При переходе волны в другую среду частота не меняется, а скорость и длина волны меняются.

Звук — продольная волна в упругой среде; человек слышит частоты примерно от $16$ Гц до $20\,000$ Гц. Более низкие частоты — инфразвук, более высокие — ультразвук. В вакууме звук не распространяется; его скорость в воздухе около $340$ м/с, в воде около $1500$ м/с, в твёрдых телах ещё больше. Звук, отражённый от препятствия, называют эхом. При звуколокации посылают сигнал и измеряют время $t$ его возвращения; расстояние до препятствия $s = \frac{vt}{2}$ . Летучие мыши и дельфины тоже ориентируются с помощью ультразвука.

Запомните

$T = \frac{t}{n}$ , $\nu = \frac{1}{T}$ , $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ .
$x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ ; $a = -\omega^2 x$ ; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ .
Пружинный маятник: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ ; математический: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ .
$E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}$ ; резонанс наступает, когда частота внешней силы равна собственной частоте.
$\lambda = vT = \frac{v}{\nu}$ ; звук — продольная волна, в вакууме не распространяется; при звуколокации $s = \frac{vt}{2}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Колебания пружинного маятника массой $0{,}1$ кг заданы уравнением $x = 0{,}05\cos 20t$ (м). Найдите амплитуду, период, жёсткость пружины, максимальную скорость и полную механическую энергию.
Решение
1. Сравниваем с $x = A\cos\omega t$ : $A = 0{,}05$ м $= 5$ см, $\omega = 20$ рад/с.
2. $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0{,}31$ с.
3. $\omega^2 = \frac{k}{m}$ , значит $k = m\omega^2 = 0{,}1 \cdot 400 = 40$ Н/м.
4. $v_{\max} = A\omega = 0{,}05 \cdot 20 = 1$ м/с.
5. $E = \frac{kA^2}{2} = \frac{40 \cdot 0{,}0025}{2} = 0{,}05$ Дж. Проверка: $\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{0{,}1 \cdot 1^2}{2} = 0{,}05$ Дж.
Ответ: $A = 5$ см, $T \approx 0{,}31$ с, $k = 40$ Н/м, $v_{\max} = 1$ м/с, $E = 0{,}05$ Дж.
Пример 2
Ультразвуковой сигнал, посланный с корабля ко дну моря, вернулся через $2$ с. Скорость звука в воде $1500$ м/с. Найдите глубину моря, а также длину волны сигнала в воде, если его частота $30$ кГц.
Решение
1. Сигнал идёт до дна и обратно, то есть проходит путь $2h$ : $2h = vt$ .
2. $h = \frac{vt}{2} = \frac{1500 \cdot 2}{2} = 1500$ м.
3. $\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{1500}{30\,000} = 0{,}05$ м $= 5$ см.
Ответ: $1500$ м; $5$ см.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Как изменится период колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в $4$ раза?
1. уменьшится в $4$ раза
2. уменьшится в $2$ раза
3. не изменится
4. увеличится в $2$ раза
5. увеличится в $4$ раза
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D увеличится в $2$ раза
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ , то есть $T \sim \sqrt{l}$ . $\sqrt{4} = 2$ , поэтому период увеличится в $2$ раза.
Скорость звука в воздухе $340$ м/с. Чему равна длина звуковой волны частотой $680$ Гц?
1. $0{,}25$ м
2. $0{,}5$ м
3. $1$ м
4. $2$ м
5. $4$ м
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $0{,}5$ м
$\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{340}{680} = 0{,}5$ м. Ответ $2$ м получается, если разделить частоту на скорость.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой $\nu$ . С какой частотой меняется его кинетическая энергия?
1. $\frac{\nu}{2}$
2. $\nu$
3. $2\nu$
4. $4\nu$
5. кинетическая энергия не меняется
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $2\nu$
За один период груз дважды проходит положение равновесия (кинетическая энергия максимальна) и дважды бывает в крайних точках (кинетическая энергия равна нулю). Значит, период изменения кинетической энергии $\frac{T}{2}$ , а частота $2\nu$ .

Типичные ошибки

Путать частоту и циклическую частоту. В уравнении $x = A\cos 20t$ число $20$ рад/с — циклическая частота, а обычная частота $\nu = \frac{20}{2\pi} \approx 3{,}2$ Гц.
Считать, что период математического маятника зависит от массы. Масса влияет только на период пружинного маятника, а $g$ только на период математического.
Писать $s = vt$ в задачах на эхо и звуколокацию. Звук проходит путь до препятствия и обратно, поэтому $s = \frac{vt}{2}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото