Импульс тела и импульс силы

Импульс тела — это вектор, равный произведению массы на скорость: $\vec p = m\vec v$ , единица $\text{кг} \cdot \text{м/с}$ . Произведение силы на время её действия называют импульсом силы. Второй закон Ньютона можно записать так:

\vec F \Delta t = \Delta \vec p = m\vec v_2 - m\vec v_1.

Одно и то же изменение импульса большая сила создаёт за короткое время, а малая за длительное. Например, при падении на мягкий мат удар длится дольше, и сила удара меньше.

Сохранение импульса, столкновения и реактивное движение

Систему тел, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю, называют замкнутой. В замкнутой системе векторная сумма импульсов не меняется (закон сохранения импульса):

m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec u_1 + m_2\vec u_2.

При абсолютно неупругом ударе тела соединяются и движутся с общей скоростью: $u = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ (проекции скоростей берут со знаками). Импульс сохраняется, а часть кинетической энергии переходит во внутреннюю.
При абсолютно упругом ударе сохраняются и импульс, и кинетическая энергия.

Реактивное движение возникает, когда от системы отделяется часть и движется в одну сторону, а оставшаяся часть движется в противоположную. Для ракеты, которая сначала покоилась, $m v_{\text{газ}} = M V$ : ракета движется противоположно струе газа. Так же объясняется отдача ружья.

Механическая работа и мощность

Работа постоянной силы:

A = Fs\cos\alpha,

где $\alpha$ — угол между силой и перемещением. Единица — джоуль (Дж). При $\alpha < 90^\circ$ работа положительна, при $\alpha = 90^\circ$ равна нулю, при $\alpha > 90^\circ$ отрицательна.

Работа силы тяжести не зависит от траектории: $A = mg(h_1 - h_2)$ .
Работа силы упругости: $A = \frac{kx_1^2}{2} - \frac{kx_2^2}{2}$ .
Работа силы трения скольжения отрицательна и зависит от пройденного пути: $A = -F_{\text{тр}} s$ .

Мощность — это работа, совершённая за единицу времени: $N = \frac{A}{t}$ , единица — ватт (Вт). При движении с постоянной скоростью $N = Fv$ .

Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетическая энергия $E_k = \frac{mv^2}{2}$ . Теорема о кинетической энергии: работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии: $A = E_{k2} - E_{k1}$ .

Потенциальная энергия: для тела на высоте $h$ $E_p = mgh$ , для пружины, деформированной на $x$ , $E_p = \frac{kx^2}{2}$ . Теорема о потенциальной энергии: работа силы тяжести и силы упругости равна изменению потенциальной энергии, взятому с обратным знаком: $A = -(E_{p2} - E_{p1})$ .

Сохранение энергии и КПД

Сумму кинетической и потенциальной энергий называют полной механической энергией: $E = E_k + E_p$ . Если в замкнутой системе работу совершают только сила тяжести и сила упругости, полная механическая энергия сохраняется:

E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2}.

При наличии трения механическая энергия уменьшается на модуль работы силы трения, но не исчезает, а переходит во внутреннюю. Закон сохранения энергии: энергия не возникает из ничего и не исчезает, а только переходит из одного вида в другой.

Коэффициент полезного действия механизма равен отношению полезной работы к затраченной (полной):

\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{з}}} \cdot 100\%.

У реальных механизмов всегда $\eta < 100\%$ .

Запомните

$\vec p = m\vec v$ ; $\vec F\Delta t = \Delta\vec p$ .
В замкнутой системе векторная сумма импульсов сохраняется; при неупругом ударе $u = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ .
$A = Fs\cos\alpha$ ; $N = \frac{A}{t} = Fv$ .
$E_k = \frac{mv^2}{2}$ , $E_p = mgh$ , $E_p = \frac{kx^2}{2}$ ; работа всех сил равна $\Delta E_k$ .
Без трения $E_k + E_p = \text{const}$ ; $\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{з}}} \cdot 100\% < 100\%$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Тележка массой $2$ кг, движущаяся со скоростью $3$ м/с, налетает на покоящуюся тележку массой $1$ кг и сцепляется с ней. Найдите скорость тележек после удара и энергию, перешедшую во внутреннюю.
Решение
1. По горизонтали система замкнута, импульс сохраняется: $m_1v_1 = (m_1 + m_2)u$ .
2. $u = \frac{2 \cdot 3}{2 + 1} = 2$ м/с.
3. Кинетическая энергия до удара: $\frac{2 \cdot 3^2}{2} = 9$ Дж; после: $\frac{3 \cdot 2^2}{2} = 6$ Дж.
4. Во внутреннюю энергию перешло $9 - 6 = 3$ Дж.
Ответ: $2$ м/с; $3$ Дж.
Пример 2
Мяч массой $0{,}5$ кг падает без начальной скорости с высоты $20$ м. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите скорость мяча в момент удара о землю и его кинетическую энергию на высоте $5$ м ( $g = 10$ м/с²).
Решение
1. Полная механическая энергия: $E = mgh = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 20 = 100$ Дж.
2. У земли вся энергия кинетическая: $\frac{mv^2}{2} = 100$ , $v^2 = \frac{2 \cdot 100}{0{,}5} = 400$ , $v = 20$ м/с.
3. На высоте $5$ м $E_p = 0{,}5 \cdot 10 \cdot 5 = 25$ Дж, значит $E_k = 100 - 25 = 75$ Дж.
Ответ: $20$ м/с; $75$ Дж.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Скорость тела массой $2$ кг за $2$ с увеличилась от $3$ м/с до $7$ м/с, направление движения не менялось. Найдите среднюю силу, действовавшую на тело.
1. $4$ Н
2. $7$ Н
3. $8$ Н
4. $10$ Н
5. $20$ Н
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $4$ Н
$\Delta p = m(v_2 - v_1) = 2 \cdot (7 - 3) = 8$ $\text{кг} \cdot \text{м/с}$ . $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{8}{2} = 4$ Н. Ответ $8$ Н получается, если забыть разделить на время.
Кран равномерно поднимает груз массой $500$ кг на высоту $10$ м за $20$ с. Какова мощность крана? ( $g = 10$ м/с²)
1. $250$ Вт
2. $1$ кВт
3. $2{,}5$ кВт
4. $5$ кВт
5. $25$ кВт
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $2{,}5$ кВт
При равномерном подъёме сила равна $mg$ : $A = mgh = 500 \cdot 10 \cdot 10 = 50\,000$ Дж. $N = \frac{A}{t} = \frac{50\,000}{20} = 2500$ Вт $= 2{,}5$ кВт.
Чтобы поднять груз массой $20$ кг на высоту $1$ м по наклонной плоскости длиной $4$ м, вдоль плоскости прикладывают силу $80$ Н. Каков КПД наклонной плоскости? ( $g = 10$ м/с²)
1. $25\%$
2. $40\%$
3. $50\%$
4. $62{,}5\%$
5. $80\%$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $62{,}5\%$
Полезная работа: $A_{\text{п}} = mgh = 20 \cdot 10 \cdot 1 = 200$ Дж. Затраченная: $A_{\text{з}} = Fl = 80 \cdot 4 = 320$ Дж. $\eta = \frac{200}{320} \cdot 100\% = 62{,}5\%$ .

Типичные ошибки

Забывать, что импульс — вектор. Для мяча, отскочившего от стены с той же скоростью, $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ , а не ноль.
Считать, что при неупругом ударе сохраняется кинетическая энергия. Сохраняется только импульс, часть энергии переходит во внутреннюю.
Путать полезную и затраченную работу в КПД. Полезная работа (например, $mgh$ ) всегда меньше затраченной; если $\eta$ получилось больше $100\%$ , в расчёте ошибка.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото