Закон всемирного тяготения

Две материальные точки массами $m_1$ и $m_2$ притягиваются друг к другу с силой

F = G\frac{m_1m_2}{r^2},

где $r$ — расстояние между ними. Закон верен и для однородных шаров, тогда $r$ — расстояние между их центрами.

$G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ — гравитационная постоянная. Её физический смысл: две материальные точки массой по $1$ кг на расстоянии $1$ м притягиваются с силой $6{,}67\cdot10^{-11}$ Н. Поскольку $G$ очень мала, притяжения обычных предметов друг к другу мы не замечаем, а для планет и звёзд эта сила решающая.

Тяготение передаётся через гравитационное поле. Напряжённость поля — отношение силы, действующей на тело в поле, к массе тела: $\vec g = \frac{\vec F}{m}$ (Н/кг).

Сила тяжести и ускорение свободного падения

Сила, с которой Земля притягивает тело, — сила тяжести: $F = mg$ . Из закона тяготения на поверхности Земли

g = G\frac{M}{R^2} \approx 9{,}8\ \text{м/с}^2,

где $M$ и $R$ — масса и радиус Земли. Земля не идеальный шар и вращается, поэтому на полюсах $g$ немного больше, чем на экваторе.

Без сопротивления воздуха все тела падают с одинаковым ускорением $g$ независимо от массы; это свободное падение. На высоте $h$ над поверхностью Земли:

g_h = G\frac{M}{(R + h)^2} = g\frac{R^2}{(R + h)^2}.

Например, при $h = R$ получаем $g_h = \frac{g}{4}$ .

Движение тела, брошенного вертикально

Если ось направлена вертикально вверх, для тела, брошенного вверх:

v = v_0 - gt,

h = v_0t - \frac{gt^2}{2}.

В верхней точке $v = 0$ , время подъёма $t_1 = \frac{v_0}{g}$ , максимальная высота $H = \frac{v_0^2}{2g}$ . Время падения равно времени подъёма, полное время полёта $\frac{2v_0}{g}$ , и тело возвращается в точку броска со скоростью $v_0$ .

Для тела, брошенного вертикально вниз (ось вниз): $v = v_0 + gt$ , $h = v_0t + \frac{gt^2}{2}$ . При свободном падении без начальной скорости $v_0 = 0$ , поэтому $v = gt$ , $h = \frac{gt^2}{2}$ , а скорость тела, упавшего с высоты $h$ , равна $v = \sqrt{2gh}$ .

Вес, невесомость и перегрузка

Вес тела — сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле давит на опору или растягивает подвес; он приложен не к телу, а к опоре (подвесу). В покое или при равномерном движении $P = mg$ .

Если лифт движется с ускорением $a$ , направленным вверх, то $P = m(g + a)$ : вес увеличивается, это перегрузка (отношение $\frac{P}{mg}$ показывает её кратность). Если ускорение направлено вниз, $P = m(g - a)$ . При ускорении $a = g$ , направленном вниз, $P = 0$ — это невесомость. В невесомости сила тяжести не исчезает: просто тело и опора движутся с одинаковым ускорением.

Искусственные спутники и первая космическая скорость

Центростремительное ускорение спутнику на круговой орбите сообщает сила тяготения:

\frac{mv^2}{R + h} = G\frac{Mm}{(R + h)^2} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM}{R + h}}.

Для круговой орбиты у самой поверхности Земли — первая космическая скорость:

v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9\ \text{км/с}.

С ростом высоты орбиты скорость спутника уменьшается, а период обращения $T = \frac{2\pi(R + h)}{v}$ растёт. На орбите у поверхности Земли период около $85$ минут. Тела внутри спутника находятся в состоянии невесомости.

Запомните

$F = G\frac{m_1m_2}{r^2}$ , $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ ; $r$ измеряют между центрами.
$g = G\frac{M}{R^2}$ ; на высоте $h$ : $g_h = g\frac{R^2}{(R + h)^2}$ .
Тело, брошенное вверх: $H = \frac{v_0^2}{2g}$ , $t_1 = \frac{v_0}{g}$ , время полёта $\frac{2v_0}{g}$ .
Вес: при ускорении вверх $P = m(g + a)$ , при ускорении вниз $P = m(g - a)$ ; при $a = g$ — невесомость.
$v_1 = \sqrt{gR} \approx 7{,}9$ км/с.

Разобранные примеры

Пример 1
На какой высоте над поверхностью Земли сила тяжести, действующая на тело, в $9$ раз меньше, чем на поверхности? Радиус Земли $R = 6400$ км.
Решение
1. Сила тяжести обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра Земли: $\frac{F_0}{F_h} = \frac{(R + h)^2}{R^2} = 9$ .
2. Отсюда $\frac{R + h}{R} = 3$ , то есть $R + h = 3R$ , $h = 2R$ .
3. $h = 2 \cdot 6400 = 12\,800$ км.
Внимание: ответ не $3R$ , ведь $3R$ — это расстояние от центра Земли.

Ответ: $12\,800$ км.
Пример 2
Человек массой $60$ кг стоит в лифте. Найдите его вес: а) когда лифт начинает подниматься с ускорением $2$ м/с²; б) когда поднимающийся лифт тормозит с ускорением $2$ м/с²; в) когда лифт свободно падает. ( $g = 10$ м/с²)
Решение
а) Ускорение направлено вверх: $P = m(g + a) = 60 \cdot (10 + 2) = 720$ Н. Это перегрузка $\frac{720}{600} = 1{,}2$ .

б) Лифт едет вверх, но тормозит, значит, ускорение направлено вниз: $P = m(g - a) = 60 \cdot 8 = 480$ Н.

в) Ускорение равно $g$ и направлено вниз: $P = m(g - g) = 0$ , человек в невесомости.

Ответ: $720$ Н; $480$ Н; $0$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Тело брошено вертикально вверх со скоростью $20$ м/с. Найдите максимальную высоту подъёма и время, через которое тело вернётся в точку броска. ( $g = 10$ м/с², сопротивление воздуха не учитывать)
1. 10 м; 2 с
2. 20 м; 2 с
3. 20 м; 4 с
4. 40 м; 2 с
5. 40 м; 4 с
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 20 м; 4 с
$H = \frac{v_0^2}{2g} = \frac{400}{20} = 20$ м. Время подъёма $\frac{v_0}{g} = 2$ с, время падения тоже $2$ с, всего $4$ с. Вариант B получается, если взять только время подъёма.
Как изменится сила притяжения двух тел, если расстояние между ними увеличить в $3$ раза, а массу одного из тел увеличить в $2$ раза?
1. уменьшится в 1,5 раза
2. уменьшится в 4,5 раза
3. увеличится в 6 раз
4. уменьшится в 9 раз
5. уменьшится в 18 раз
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B уменьшится в 4,5 раза
$F' = G\frac{2m_1m_2}{(3r)^2} = \frac{2}{9}F$ . Сила уменьшится в $\frac{9}{2} = 4{,}5$ раза. Вариант A получается, если не возвести расстояние в квадрат.
Радиус планеты в $4$ раза меньше радиуса Земли, а ускорение свободного падения на её поверхности в $4$ раза меньше земного. Во сколько раз первая космическая скорость для этой планеты меньше, чем для Земли?
1. в 1,5 раза
2. в 2 раза
3. в 4 раза
4. в 8 раз
5. в 16 раз
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C в 4 раза
$v_1 = \sqrt{gR}$ . Для планеты $v = \sqrt{\frac{g}{4}\cdot\frac{R}{4}} = \frac{\sqrt{gR}}{4}$ , то есть в $4$ раза меньше. Вариант E получается, если забыть извлечь корень.

Типичные ошибки

Отсчитывать расстояние от поверхности планеты. В законе тяготения $r$ измеряют от центра, на высоте $h$ это $R + h$ .
Отождествлять вес и силу тяжести. При свободном падении вес равен нулю, а сила тяжести остаётся $mg$ ; вес приложен к опоре, сила тяжести — к телу.
Считать, что тяжёлое тело падает быстрее. Без сопротивления воздуха все тела падают с одинаковым ускорением.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото