Основные понятия

Механическое движение — изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Движение бывает поступательным и вращательным; по форме траектории — прямолинейным и криволинейным, по характеру скорости — равномерным и неравномерным.

Материальная точка — тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь. Автобус на пути из Баку в Шеки можно считать материальной точкой, а автобус, который паркуется у остановки, — нельзя.
Система отсчёта = тело отсчёта + связанная с ним система координат + прибор для измерения времени (часы).
Траектория — линия, которую описывает материальная точка при движении.

Скалярные и векторные величины. Путь и перемещение

Скалярная величина задаётся только числом (время, масса, путь). Векторная величина имеет и модуль, и направление (перемещение, скорость, ускорение, сила).

Проекция вектора на ось — скаляр: она положительна, если вектор направлен по оси, отрицательна, если против оси, и равна нулю, если вектор перпендикулярен оси. Для вектора $\vec a$ , образующего с осью угол $\alpha$ , имеем $a_x = a\cos\alpha$ .

Путь ( $l$ ) — длина траектории; это скаляр, и он не может уменьшаться. Перемещение ( $\vec s$ ) — направленный отрезок, проведённый из начального положения в конечное. Всегда $s \le l$ ; равенство возможно только при прямолинейном движении без смены направления. В проекции на ось: $s_x = x - x_0$ .

Равномерное движение. Сложение скоростей

Движение называют равномерным, если за любые равные промежутки времени тело совершает равные перемещения. Скорость при этом постоянна:

\vec v = \frac{\vec s}{t},

x = x_0 + v_x t.

Единица скорости в СИ — м/с: $1$ км/ч $= \dfrac{1}{3{,}6}$ м/с, например, $72$ км/ч $= 20$ м/с. В автомобиле скорость измеряет спидометр, он показывает модуль мгновенной скорости.

Движение относительно: траектория, перемещение и скорость зависят от выбора системы отсчёта. Закон сложения скоростей:

\vec v = \vec v_1 + \vec v_2,

где $\vec v_1$ — скорость тела относительно подвижной системы отсчёта, $\vec v_2$ — скорость подвижной системы относительно неподвижной. Для двух тел на одной прямой относительная скорость равна $v_1 - v_2$ при движении в одну сторону и $v_1 + v_2$ при движении навстречу.

Неравномерное движение: средняя и мгновенная скорость, ускорение

При неравномерном движении используют две средние скорости:

средняя путевая скорость: $v_{\text{ср}} = \dfrac{l}{t}$ (весь путь делить на всё время);
средняя скорость по перемещению: $\vec v_{\text{ср}} = \dfrac{\vec s}{t}$ .

Мгновенная скорость — скорость в данный момент времени; она равна средней скорости за очень малый промежуток времени и направлена по касательной к траектории.

Ускорение показывает, как быстро меняется скорость:

\vec a = \frac{\vec v - \vec v_0}{t},

его единица — м/с $^2$ . Ускорение измеряют специальным прибором — акселерометром (такой датчик есть и в смартфонах). При движении из состояния покоя ускорение можно найти по пути и времени: $a = \dfrac{2s}{t^2}$ .

Равноускоренное движение и графики

Если ускорение постоянно ( $\vec a = \text{const}$ ), движение называют равнопеременным (равноускоренным):

v_x = v_{0x} + a_x t,

x = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2},

s_x = \frac{v_x^2 - v_{0x}^2}{2a_x}.

При движении из состояния покоя пути, пройденные за последовательные равные промежутки времени, относятся как $1 : 3 : 5 : 7 : \dots$

Графики:

при равномерном движении $v_x(t)$ — прямая, параллельная оси времени, $x(t)$ — наклонная прямая (наклон даёт скорость), $a = 0$ ;
при равноускоренном движении $a_x(t)$ — прямая, параллельная оси времени, $v_x(t)$ — наклонная прямая (наклон даёт ускорение), $x(t)$ — парабола;
площадь под графиком $v_x(t)$ равна проекции перемещения.

Запомните

Путь — скаляр и не убывает, перемещение — вектор; всегда $s \le l$ .
Средняя путевая скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее арифметическое скоростей.
Равноускоренное движение: $v = v_0 + at$ , $s = v_0 t + \dfrac{at^2}{2}$ , $s = \dfrac{v^2 - v_0^2}{2a}$ .
В уравнении координаты коэффициент при $t^2$ равен $\dfrac{a_x}{2}$ .
Наклон графика $v(t)$ даёт ускорение, а площадь под ним — перемещение.

Разобранные примеры

Пример 1
Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью $60$ км/ч, а вторую — со скоростью $40$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.
Решение
Обозначим весь путь $2l$ . Время на каждой половине:

$t_1 = \frac{l}{60},$ $t_2 = \frac{l}{40}.$

Общее время:

$t = \frac{l}{60} + \frac{l}{40} = \frac{2l + 3l}{120} = \frac{l}{24}.$

Средняя скорость:

$v_{\text{ср}} = \frac{2l}{t} = \frac{2l}{l/24} = 48 \text{ км/ч}.$

Обратите внимание: ответ не $\dfrac{60 + 40}{2} = 50$ км/ч, потому что на медленном участке автомобиль провёл больше времени.

Ответ: $48$ км/ч.
Пример 2
Тело, начав равноускоренное движение из состояния покоя, за первые $4$ с проходит $32$ м. Найдите ускорение тела, его скорость в конце $4$ -й секунды и путь, пройденный за четвёртую секунду.
Решение
Для движения из состояния покоя $s = \dfrac{at^2}{2}$ , откуда

$a = \frac{2s}{t^2} = \frac{2 \cdot 32}{4^2} = 4 \text{ м/с}^2.$

Скорость: $v = at = 4 \cdot 4 = 16$ м/с.

Путь за четвёртую секунду равен разности путей за первые $4$ с и за первые $3$ с:

$s_4 = 32 - \frac{4 \cdot 3^2}{2} = 32 - 18 = 14 \text{ м}.$

Проверка: за первую секунду тело проходит $\dfrac{4 \cdot 1^2}{2} = 2$ м, пути за последовательные секунды относятся как $1 : 3 : 5 : 7$ , значит, за четвёртую секунду $7 \cdot 2 = 14$ м.

Ответ: $4$ м/с $^2$ ; $16$ м/с; $14$ м.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Мяч упал с высоты $5$ м, отскочил от пола и был пойман на высоте $2$ м. Чему равны путь мяча и модуль его перемещения?
1. $7$ м; $3$ м
2. $3$ м; $7$ м
3. $7$ м; $7$ м
4. $5$ м; $2$ м
5. $3$ м; $3$ м
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $7$ м; $3$ м
Путь — длина траектории: вниз $5$ м, вверх $2$ м, всего $l = 7$ м. Перемещение — отрезок от начальной точки до конечной: мяч пойман на $5 - 2 = 3$ м ниже начального положения, значит, $s = 3$ м.
Координата тела меняется по закону $x = 5 - 4t + 2t^2$ (м). Найдите проекцию скорости тела в момент $t = 3$ с.
1. $4$ м/с
2. $11$ м/с
3. $14$ м/с
4. $8$ м/с
5. $2$ м/с
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $8$ м/с
Сравним с уравнением $x = x_0 + v_{0x}t + \dfrac{a_x t^2}{2}$ : $v_{0x} = -4$ м/с, $\dfrac{a_x}{2} = 2$ , то есть $a_x = 4$ м/с $^2$ . Тогда $v_x = -4 + 4t$ и при $t = 3$ с $v_x = -4 + 12 = 8$ м/с. Число $11$ м — это координата тела в этот момент, а не скорость.
Два поезда движутся по параллельным путям навстречу друг другу со скоростями $54$ км/ч и $36$ км/ч. Пассажир первого поезда видит, что второй поезд проходит мимо него за $6$ с. Какова длина второго поезда?
1. $30$ м
2. $90$ м
3. $150$ м
4. $324$ м
5. $540$ м
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $150$ м
Переведём скорости в м/с: $54$ км/ч $= 15$ м/с, $36$ км/ч $= 10$ м/с. Поезда движутся навстречу, поэтому скорость второго поезда относительно пассажира равна $15 + 10 = 25$ м/с. Длина: $L = 25 \cdot 6 = 150$ м. Ответ $30$ м получается, если скорости вычесть, а $540$ м — если не перевести км/ч в м/с.

Типичные ошибки

Считать среднюю путевую скорость как среднее арифметическое скоростей. Правильно: весь путь делить на всё время.
Путать путь и перемещение; модуль перемещения не может быть больше пути.
Принимать коэффициент при $t^2$ в уравнении координаты за ускорение (он равен $\dfrac{a}{2}$ ) и забывать переводить км/ч в м/с.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото