Путь, перемещение и угол поворота

Материальная точка движется по окружности радиуса $R$ . Отрезок, соединяющий центр окружности с точкой, называют радиус-вектором. Угол $\varphi$ , на который он поворачивается за время $t$ , называют углом поворота. Его удобно измерять в радианах: $360^\circ=2\pi$ рад.

Путь равен длине дуги: $s=\varphi R$ ( $\varphi$ в радианах).
Перемещение — хорда, соединяющая начальное и конечное положения: $|\vec S|=2R\sin\dfrac{\varphi}{2}$ .

За четверть оборота $s=\dfrac{\pi R}{2}$ , $|\vec S|=R\sqrt2$ ; за половину оборота $s=\pi R$ , $|\vec S|=2R$ ; за полный оборот $s=2\pi R$ , а перемещение равно нулю.

Период и частота обращения

При равномерном движении точка за любые равные промежутки времени проходит равные дуги. Время одного полного оборота называют периодом: $T=\dfrac{t}{N}$ , где $N$ — число оборотов. Число оборотов за единицу времени называют частотой обращения: $\nu=\dfrac{N}{t}=\dfrac1T$ .

Период измеряют в секундах, частоту — в $\text{с}^{-1}$ (герцах, Гц). Например, у вала, который делает 600 оборотов в минуту, $\nu=\dfrac{600}{60}=10$ Гц и $T=0{,}1$ с.

Линейная и угловая скорость

Линейная скорость — длина дуги, пройденной за единицу времени: $v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu$ . В каждой точке она направлена по касательной к окружности, поэтому вектор скорости меняется, хотя его модуль постоянен.

Угловая скорость — угол поворота за единицу времени: $\omega=\dfrac{\varphi}{t}=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi\nu$ , единица — рад/с. Связь между скоростями: $v=\omega R$ .

У всех точек вращающегося диска угловая скорость одинакова, а линейная растёт пропорционально расстоянию до оси. У колёс, связанных ремённой или зубчатой передачей, одинаковы линейные скорости точек обода.

Центростремительное ускорение

Поскольку направление скорости меняется, равномерное движение по окружности — это движение с ускорением. Ускорение в каждый момент направлено к центру окружности и называется центростремительным:

a=\dfrac{v^2}{R}=\omega^2R=\omega v=\dfrac{4\pi^2R}{T^2}.

Ускорение перпендикулярно скорости, поэтому меняет только её направление, а не модуль. Если при том же $R$ линейная скорость увеличится в 2 раза, ускорение увеличится в 4 раза. При постоянной $\omega$ ускорение прямо пропорционально радиусу.

Полезные правила для задач

Если число оборотов дано в минуту, сначала перейдите к секундам: при $n$ оборотах в минуту $\nu=\dfrac{n}{60}$ Гц.
У двух колёс, связанных ремнём, $v_1=v_2$ , то есть $\omega_1R_1=\omega_2R_2$ : маленькое колесо вращается быстрее.
Стрелки часов тоже вращаются равномерно: период минутной стрелки 1 ч, часовой — 12 ч. При одинаковой длине линейная скорость конца минутной стрелки была бы в 12 раз больше.
Земля совершает оборот вокруг своей оси за 24 ч, поэтому её угловая скорость $\omega=\dfrac{2\pi}{24\cdot3600}\approx7{,}3\cdot10^{-5}$ рад/с.

Запомните

$s=\varphi R$ , перемещение $2R\sin\dfrac{\varphi}{2}$ ; за полный оборот перемещение равно нулю.
$T=\dfrac tN$ , $\;\nu=\dfrac Nt=\dfrac1T$ .
$v=\dfrac{2\pi R}{T}=2\pi R\nu$ , $\;\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi\nu$ , $\;v=\omega R$ .
$a=\dfrac{v^2}{R}=\omega^2R$ ; ускорение направлено к центру и перпендикулярно скорости.
У точек одного диска одинакова $\omega$ ; у ободов колёс, связанных ремнём, одинакова $v$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Диск радиусом 0,5 м делает 120 оборотов за 1 минуту. Найдите период, частоту, угловую скорость, линейную скорость и центростремительное ускорение точки на краю диска ( $\pi^2\approx10$ ).
Решение
1. $T=\dfrac tN=\dfrac{60}{120}=0{,}5$ с, $\;\nu=\dfrac1T=2$ Гц.
2. $\omega=2\pi\nu=4\pi$ рад/с $\approx12{,}6$ рад/с.
3. $v=\omega R=4\pi\cdot0{,}5=2\pi$ м/с $\approx6{,}28$ м/с.
4. $a=\omega^2R=16\pi^2\cdot0{,}5=8\pi^2\approx80$ м/с².
Ответ: $T=0{,}5$ с, $\nu=2$ Гц, $\omega=4\pi$ рад/с, $v=2\pi$ м/с, $a\approx80$ м/с².
Пример 2
Тело равномерно движется по окружности радиусом 2 м с периодом 8 с. Найдите путь и модуль перемещения через 2 с и через 4 с после начала движения.
Решение
1. 2 с — это четверть периода: $\varphi=\dfrac{2\pi\cdot2}{8}=\dfrac{\pi}{2}$ . Путь: $s=\varphi R=\dfrac{\pi}{2}\cdot2=\pi\approx3{,}14$ м. Перемещение — хорда: $2R\sin45^\circ=R\sqrt2=2\sqrt2\approx2{,}83$ м.
2. 4 с — половина периода: $\varphi=\pi$ . Путь: $s=\pi R=2\pi\approx6{,}28$ м. Перемещение равно диаметру: $2R=4$ м.
Ответ: за 2 с путь $\pi$ м, перемещение $2\sqrt2$ м; за 4 с путь $2\pi$ м, перемещение 4 м.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Автомобиль движется по круговой дороге радиусом 100 м с постоянной по модулю скоростью 20 м/с. Найдите его центростремительное ускорение.
1. 0,2 м/с²
2. 2 м/с²
3. 4 м/с²
4. 5 м/с²
5. 20 м/с²
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 4 м/с²
$a=\dfrac{v^2}{R}=\dfrac{20^2}{100}=\dfrac{400}{100}=4$ м/с².
Точка $A$ вращающегося диска находится на расстоянии 10 см от оси, точка $B$ — на расстоянии 30 см. Найдите отношения $\dfrac{v_B}{v_A}$ и $\dfrac{\omega_B}{\omega_A}$ .
1. 3 и 1
2. 1 и 3
3. $\dfrac13$ и 1
4. 9 и 3
5. 3 и 3
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 3 и 1
Все точки диска поворачиваются на один и тот же угол, значит, $\omega_B=\omega_A$ и отношение равно 1. Так как $v=\omega R$ , то $\dfrac{v_B}{v_A}=\dfrac{30}{10}=3$ .
Точка равномерно движется по окружности радиуса $R$ . Чему равны путь и модуль перемещения за время, равное половине периода?
1. $2\pi R$ и 0
2. $\pi R$ и $\pi R$
3. $2R$ и $\pi R$
4. $\dfrac{\pi R}{2}$ и $R\sqrt2$
5. $\pi R$ и $2R$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $\pi R$ и $2R$
За половину оборота точка проходит полуокружность: $s=\pi R$ . Начальное и конечное положения — концы диаметра, поэтому перемещение равно $2R$ .

Типичные ошибки

Считать ускорение равным нулю, раз модуль скорости постоянен: направление скорости меняется, поэтому $a=\dfrac{v^2}{R}\ne0$ .
Путать путь и перемещение: за полный оборот путь равен $2\pi R$ , а перемещение равно нулю.
Отождествлять частоту и угловую скорость ( $\omega=2\pi\nu$ ) или подставлять угол в градусах в формулы $s=\varphi R$ и $v=\omega R$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото