Магниты и взаимодействие токов

У постоянного магнита два полюса: северный ( $N$ ) и южный ( $S$ ). Одноимённые полюса отталкиваются, разноимённые притягиваются. Сколько бы частей мы ни получили, разрезая магнит, у каждой снова будет два полюса.

Опыт Эрстеда показал, что проводник с током поворачивает магнитную стрелку, то есть ток создаёт магнитное поле. Ампер установил, что параллельные проводники с токами одного направления притягиваются, а с противоположными токами отталкиваются.

Магнитное поле есть и у Земли: вблизи географического Северного полюса находится южный магнитный полюс Земли. Поэтому северный конец стрелки компаса указывает на географический север.

Индукция магнитного поля и силовые линии

Силовая характеристика магнитного поля называется вектором магнитной индукции $\vec B$ . Его модуль равен отношению максимальной силы, действующей на участок проводника с током, к произведению силы тока на длину участка:

B = \frac{F_{\max}}{I l}.

Единица — тесла (Тл). Вектор $\vec B$ направлен туда, куда указывает северный полюс свободно вращающейся магнитной стрелки.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты:

у прямого тока это концентрические окружности вокруг проводника;
поле кругового тока (и катушки) похоже на поле полосового магнита;
у постоянного магнита снаружи линии выходят из полюса $N$ и входят в полюс $S$ .

Направление линий находят по правилу правого буравчика: если поступательное движение буравчика совпадает с направлением тока, то вращение рукоятки показывает направление линий. Поля нескольких источников складываются как векторы (принцип суперпозиции): $\vec B = \vec B_1 + \vec B_2 + \dots$

Сила Ампера и магнитные свойства вещества

На проводник с током в магнитном поле действует сила Ампера:

F_A = B I l \sin\alpha,

где $\alpha$ — угол между направлением тока и вектором $\vec B$ . Направление силы определяют по правилу левой руки: линии индукции входят в ладонь, четыре пальца направлены по току, тогда отогнутый на $90^\circ$ большой палец показывает силу.

Магнитная проницаемость $\mu = \frac{B}{B_0}$ показывает, во сколько раз поле в веществе отличается от поля в вакууме.

Диамагнетики ( $\mu$ чуть меньше единицы; медь, серебро, висмут) слабо выталкиваются из поля.
Парамагнетики ( $\mu$ чуть больше единицы; алюминий, платина) слабо втягиваются в поле.
Ферромагнетики ( $\mu \gg 1$ ; железо, никель, кобальт) сильно намагничиваются.

Выше температуры Кюри ферромагнетик теряет свои свойства и становится парамагнетиком.

Сила Лоренца и движение частицы

Сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу, называется силой Лоренца:

F_L = |q| v B \sin\alpha.

Для положительного заряда направление находят по правилу левой руки (четыре пальца по скорости), для отрицательного сила направлена в противоположную сторону. Сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает: модуль скорости и кинетическая энергия не меняются.

В однородном поле:

при $\vec v \parallel \vec B$ сила равна нулю, движение прямолинейное;
при $\vec v \perp \vec B$ частица движется по окружности. Из $|q|vB = \frac{mv^2}{r}$ получаем

r = \frac{mv}{|q|B},

T = \frac{2\pi m}{|q|B},

\nu = \frac{|q|B}{2\pi m};

при других углах траектория представляет собой винтовую линию.

Период обращения не зависит от скорости. Отношение $\frac{q}{m}$ называют удельным зарядом. В масс-спектрографе ионы с одинаковой скоростью описывают окружности разных радиусов ( $r \sim \frac{m}{q}$ ), и это позволяет разделять их по массе.

Запомните

$B = \frac{F_{\max}}{Il}$ , единица Тл; линии индукции замкнуты, их направление даёт правило правого буравчика.
Параллельные токи одного направления притягиваются, противоположных направлений отталкиваются.
$F_A = BIl\sin\alpha$ , $F_L = |q|vB\sin\alpha$ ; направление по правилу левой руки.
При $\vec v \perp \vec B$ : $r = \frac{mv}{|q|B}$ , $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$ ; период не зависит от скорости.
Сила Лоренца работы не совершает; выше температуры Кюри ферромагнетик становится парамагнетиком.

Разобранные примеры

Пример 1
Прямой проводник длиной $0{,}5$ м находится в однородном магнитном поле с индукцией $0{,}2$ Тл и образует с линиями индукции угол $30^\circ$ . Сила тока в проводнике $4$ А. Найдите силу Ампера. Как расположить проводник, чтобы сила была максимальной?
Решение
1. $F_A = BIl\sin\alpha = 0{,}2 \cdot 4 \cdot 0{,}5 \cdot \sin 30^\circ = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$ Н.
2. Наибольшее значение $\sin\alpha = 1$ достигается при $\alpha = 90^\circ$ . Если проводник перпендикулярен линиям, $F_{\max} = 0{,}2 \cdot 4 \cdot 0{,}5 = 0{,}4$ Н.
Ответ: $0{,}2$ Н; проводник нужно расположить перпендикулярно линиям индукции (тогда $0{,}4$ Н).
Пример 2
Частица массой $1{,}6 \cdot 10^{-27}$ кг с зарядом $1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Кл влетает со скоростью $10^6$ м/с в однородное магнитное поле с индукцией $0{,}1$ Тл перпендикулярно линиям. Найдите радиус окружности и период обращения.
Решение
1. Сила Лоренца сообщает центростремительное ускорение: $qvB = \frac{mv^2}{r}$ , откуда $r = \frac{mv}{qB}$ .
2. $r = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-27} \cdot 10^6}{1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 0{,}1} = \frac{1{,}6 \cdot 10^{-21}}{1{,}6 \cdot 10^{-20}} = 0{,}1$ м.
3. $T = \frac{2\pi m}{qB} = \frac{2\pi \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-27}}{1{,}6 \cdot 10^{-20}} = 2\pi \cdot 10^{-7} \approx 6{,}28 \cdot 10^{-7}$ с.
Проверка: $T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi \cdot 0{,}1}{10^6} = 2\pi \cdot 10^{-7}$ с.

Ответ: $0{,}1$ м; $\approx 6{,}28 \cdot 10^{-7}$ с.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

По двум параллельным прямым проводникам текут токи одного направления. Как взаимодействуют проводники?
1. притягиваются
2. отталкиваются
3. не взаимодействуют
4. поворачиваются, пока не станут перпендикулярными
5. в зависимости от силы тока могут и притягиваться, и отталкиваться
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A притягиваются
Найдём поле первого проводника по правилу буравчика, а силу Ампера на второй проводник по правилу левой руки: сила направлена к первому проводнику. Токи одного направления притягиваются, противоположных отталкиваются.
Электрон ( $|q| = 1{,}6 \cdot 10^{-19}$ Кл) движется со скоростью $2 \cdot 10^6$ м/с в однородном магнитном поле с индукцией $0{,}5$ Тл перпендикулярно линиям индукции. Чему равна сила Лоренца?
1. $0{,}8 \cdot 10^{-13}$ Н
2. $1{,}6 \cdot 10^{-13}$ Н
3. $3{,}2 \cdot 10^{-13}$ Н
4. $6{,}4 \cdot 10^{-13}$ Н
5. $1{,}6 \cdot 10^{-12}$ Н
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $1{,}6 \cdot 10^{-13}$ Н
$F_L = |q|vB\sin 90^\circ = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 2 \cdot 10^6 \cdot 0{,}5 = 1{,}6 \cdot 10^{-13}$ Н.
Скорость заряженной частицы, движущейся в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции, увеличили в $2$ раза. Как изменится период обращения?
1. уменьшится в $4$ раза
2. уменьшится в $2$ раза
3. не изменится
4. увеличится в $2$ раза
5. увеличится в $4$ раза
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C не изменится
В формуле $T = \frac{2\pi m}{|q|B}$ скорости нет. Радиус $r = \frac{mv}{|q|B}$ растёт во столько же раз, что и скорость, поэтому длина окружности и скорость растут вместе, а время одного оборота не меняется.

Типичные ошибки

Определять направление сил Ампера и Лоренца правой рукой. Для силы нужна левая рука; правый буравчик нужен для направления поля (линий индукции).
Направлять силу Лоренца для электрона так же, как для положительного заряда. Для отрицательного заряда четыре пальца направляют против скорости.
Брать в формуле угол между проводником и перпендикуляром к линиям. $\alpha$ — это угол между током (или скоростью) и $\vec B$ : при параллельном расположении сила равна нулю.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото