Явление и магнитный поток

В 1831 году Фарадей открыл, что при изменении магнитного потока через замкнутый контур в нём возникает электрический ток. Это явление называют электромагнитной индукцией, а ток — индукционным. Поток можно менять, вдвигая магнит в катушку, вращая контур, меняя его площадь или изменяя ток в соседней цепи.

Магнитный поток через плоский контур площадью $S$ :

\Phi = BS\cos\alpha,

где $\alpha$ — угол между вектором $\vec B$ и нормалью к плоскости контура. Единица — вебер: $1 \text{ Вб} = 1 \text{ Тл} \cdot \text{м}^2$ . Если линии перпендикулярны плоскости, $\Phi = BS$ ; если параллельны, $\Phi = 0$ .

Закон индукции и правило Ленца

Закон электромагнитной индукции: ЭДС индукции в контуре по модулю равна скорости изменения магнитного потока:

\mathcal{E}_i = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}.

Для катушки из $N$ витков $\mathcal{E}_i = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ . Если сопротивление контура $R$ , индукционный ток $I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R}$ .

Знак «минус» выражает правило Ленца: индукционный ток направлен так, что его магнитное поле препятствует изменению магнитного потока, которое вызвало этот ток. Если поток растёт, поле индукционного тока направлено против внешнего поля; если убывает — по нему. Например, металлическое кольцо отталкивается от приближающегося магнита и притягивается к удаляющемуся.

ЭДС индукции в движущемся проводнике

Когда проводник длиной $l$ движется в магнитном поле со скоростью $v$ , на его свободные электроны действует сила Лоренца, и на концах проводника возникает ЭДС:

\mathcal{E}_i = Bvl\sin\alpha,

где $\alpha$ — угол между скоростью и $\vec B$ (сам проводник перпендикулярен $\vec B$ и $\vec v$ ). Направление индукционного тока в проводнике находят по правилу правой руки: линии индукции входят в ладонь, отогнутый на $90^\circ$ большой палец направлен по скорости, тогда четыре пальца показывают направление тока.

Самоиндукция и индуктивность

При изменении тока в контуре меняется и его собственный магнитный поток, поэтому в этом же контуре возникает ЭДС. Это явление самоиндукции. Собственный поток пропорционален силе тока: $\Phi = LI$ . Коэффициент $L$ — индуктивность контура, единица — генри (Гн). Индуктивность зависит от формы и размеров контура, числа витков и среды; железный сердечник увеличивает её во много раз.

ЭДС самоиндукции:

\mathcal{E}_s = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}.

По правилу Ленца она препятствует изменению тока: при замыкании цепи ток нарастает постепенно, а при размыкании ещё некоторое время продолжает течь. Поэтому лампа, включённая последовательно с катушкой, после замыкания ключа загорается в полную силу с запозданием.

Энергия магнитного поля

Чтобы создать ток в катушке, источник совершает работу против ЭДС самоиндукции. Эта работа запасается в виде энергии магнитного поля катушки:

W = \frac{LI^2}{2} = \frac{\Phi I}{2} = \frac{\Phi^2}{2L}.

При увеличении тока в $2$ раза энергия растёт в $4$ раза. При размыкании цепи эта энергия выделяется в виде искры и нагревания проводов.

Запомните

$\Phi = BS\cos\alpha$ , угол $\alpha$ отсчитывают между $\vec B$ и нормалью; единица Вб.
$\mathcal{E}_i = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ ; знак «минус» выражает правило Ленца.
В движущемся проводнике $\mathcal{E}_i = Bvl\sin\alpha$ ; направление тока по правилу правой руки.
$\Phi = LI$ , $\mathcal{E}_s = -L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ ; единица индуктивности Гн.
Энергия магнитного поля $W = \frac{LI^2}{2}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Катушка из $100$ витков имеет площадь поперечного сечения $20$ см². Индукция магнитного поля, направленного вдоль оси катушки, равномерно растёт от $0{,}1$ Тл до $0{,}5$ Тл за $0{,}02$ с. Найдите ЭДС индукции в катушке. Какова сила тока, если концы катушки замкнуты и сопротивление цепи $2$ Ом?
Решение
1. Переводим площадь в СИ: $S = 20$ см² $= 2 \cdot 10^{-3}$ м².
2. Изменение потока через один виток: $\Delta\Phi = \Delta B \cdot S = 0{,}4 \cdot 2 \cdot 10^{-3} = 8 \cdot 10^{-4}$ Вб.
3. $|\mathcal{E}_i| = N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = 100 \cdot \frac{8 \cdot 10^{-4}}{0{,}02} = 100 \cdot 0{,}04 = 4$ В.
4. $I = \frac{|\mathcal{E}_i|}{R} = \frac{4}{2} = 2$ А.
Ответ: $4$ В; $2$ А.
Пример 2
В катушке индуктивностью $0{,}5$ Гн сила тока равномерно уменьшается от $5$ А до $1$ А за $0{,}1$ с. Найдите ЭДС самоиндукции и на сколько уменьшилась энергия магнитного поля.
Решение
1. $|\mathcal{E}_s| = L\frac{|\Delta I|}{\Delta t} = 0{,}5 \cdot \frac{4}{0{,}1} = 20$ В.
2. Начальная энергия: $W_1 = \frac{0{,}5 \cdot 5^2}{2} = 6{,}25$ Дж; конечная: $W_2 = \frac{0{,}5 \cdot 1^2}{2} = 0{,}25$ Дж.
3. Энергия уменьшилась на $6{,}25 - 0{,}25 = 6$ Дж.
По правилу Ленца эта ЭДС препятствует убыванию тока, то есть действует в направлении тока.

Ответ: $20$ В; $6$ Дж.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Рамка площадью $50$ см² находится в однородном магнитном поле с индукцией $0{,}4$ Тл. Угол между нормалью к плоскости рамки и вектором индукции $60^\circ$ . Чему равен магнитный поток через рамку?
1. $0{,}5$ мВб
2. $1$ мВб
3. $1{,}7$ мВб
4. $2$ мВб
5. $20$ мВб
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $1$ мВб
$S = 5 \cdot 10^{-3}$ м². $\Phi = BS\cos 60^\circ = 0{,}4 \cdot 5 \cdot 10^{-3} \cdot 0{,}5 = 10^{-3}$ Вб $= 1$ мВб. Ответ $1{,}7$ мВб получается, если взять $\sin$ вместо $\cos$ , а $2$ мВб, если забыть про угол.
Проводник длиной $0{,}2$ м движется со скоростью $5$ м/с в однородном магнитном поле с индукцией $0{,}5$ Тл. Проводник, его скорость и линии индукции взаимно перпендикулярны. Какая ЭДС индукции возникает на концах проводника?
1. $0{,}05$ В
2. $0{,}2$ В
3. $0{,}5$ В
4. $2$ В
5. $5$ В
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $0{,}5$ В
$\mathcal{E}_i = Bvl\sin 90^\circ = 0{,}5 \cdot 5 \cdot 0{,}2 = 0{,}5$ В.
Как изменится энергия магнитного поля катушки, если силу тока в ней увеличить в $2$ раза?
1. уменьшится в $4$ раза
2. уменьшится в $2$ раза
3. не изменится
4. увеличится в $2$ раза
5. увеличится в $4$ раза
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E увеличится в $4$ раза
$W = \frac{LI^2}{2}$ . Индуктивность зависит только от самой катушки и не меняется, поэтому $W \sim I^2$ : энергия растёт в $2^2 = 4$ раза.

Типичные ошибки

Брать в формуле потока угол между $\vec B$ и плоскостью контура. В формуле угол между $\vec B$ и нормалью; если в условии дан угол с плоскостью, вместо $\cos$ пишут $\sin$ .
Забывать число витков $N$ или не переводить площадь из см² в м²: $1$ см² $= 10^{-4}$ м².
Понимать правило Ленца как «поле индукционного тока всегда против внешнего поля». Оно препятствует не самому потоку, а его изменению: при убывании потока поля направлены одинаково.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото