Генератор переменного тока

При вращении рамки в магнитном поле с угловой скоростью $\omega$ магнитный поток через неё меняется: $\Phi = BS\cos\omega t$ . По закону электромагнитной индукции в рамке возникает ЭДС:

e = \mathcal{E}_m\sin\omega t,

\mathcal{E}_m = NBS\omega,

где $N$ — число витков. Поэтому ЭДС, напряжение и сила тока меняются по гармоническому закону. В промышленных генераторах обычно вращается электромагнит (ротор), а ЭДС наводится в неподвижных обмотках (статоре). Частота тока в сети $50$ Гц, то есть $\omega = 100\pi$ рад/с.

Действующие значения

Действующее значение переменного тока равно силе такого постоянного тока, который в том же резисторе за то же время выделяет столько же теплоты. Для гармонического тока:

I = \frac{I_m}{\sqrt{2}},

U = \frac{U_m}{\sqrt{2}},

\mathcal{E} = \frac{\mathcal{E}_m}{\sqrt{2}}.

Причина в том, что мгновенная мощность на резисторе $p = i^2R = I_m^2R\sin^2\omega t$ , а среднее значение $\sin^2\omega t$ за период равно $\frac{1}{2}$ . Поэтому средняя мощность $P = \frac{I_m^2R}{2} = I^2R$ .

Амперметр и вольтметр показывают действующие значения. Напряжение сети $220$ В — действующее, его амплитуда $220\sqrt{2} \approx 311$ В.

Сопротивления в цепи и закон Ома

Активное сопротивление $R$ : в резисторе ток и напряжение совпадают по фазе, электрическая энергия переходит в теплоту.
Ёмкостное сопротивление $X_C = \frac{1}{\omega C}$ : на конденсаторе ток опережает напряжение по фазе на $\frac{\pi}{2}$ . Постоянный ток ( $\omega = 0$ ) конденсатор не пропускает.
Индуктивное сопротивление $X_L = \omega L$ : в катушке ток отстаёт от напряжения по фазе на $\frac{\pi}{2}$ .

Закон Ома для последовательной $RLC$ -цепи:

I = \frac{U}{Z},

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}.

Сопротивления нельзя складывать как обычные числа, потому что напряжения на элементах сдвинуты по фазе. При $X_L = X_C$ получаем $Z = R$ и максимальный ток — это резонанс, $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ .

Работа и мощность переменного тока

Средняя мощность переменного тока:

P = UI\cos\varphi = I^2R,

\cos\varphi = \frac{R}{Z},

где $\varphi$ — сдвиг фаз между током и напряжением, а $\cos\varphi$ — коэффициент мощности. Энергия расходуется только на активном сопротивлении. На идеальном конденсаторе или катушке средняя мощность равна нулю: энергия лишь перекачивается между источником и полем. Работа за время $t$ : $A = Pt$ .

Трансформатор и передача электроэнергии

Трансформатор состоит из двух обмоток на общем стальном сердечнике и основан на электромагнитной индукции, поэтому работает только на переменном токе. Переменный ток в первичной обмотке создаёт в сердечнике переменный магнитный поток; он пронизывает и вторичную обмотку и наводит в ней ЭДС. В каждом витке наводится одинаковая ЭДС, поэтому в режиме холостого хода коэффициент трансформации:

k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2}.

При $k > 1$ трансформатор понижающий, при $k < 1$ — повышающий. Для идеального трансформатора $U_1I_1 = U_2I_2$ , то есть $\frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1}$ : во сколько раз повышается напряжение, во столько же раз уменьшается сила тока. КПД трансформатора $\eta = \frac{P_2}{P_1} \cdot 100\%$ ; у крупных трансформаторов он достигает $95$ – $99\%$ .

Потери на нагрев проводов $P_{\text{пот}} = I^2R_{\text{л}}$ , а при заданной передаваемой мощности $I = \frac{P}{U\cos\varphi}$ . Если повысить напряжение в $n$ раз, потери уменьшатся в $n^2$ раз. Поэтому на электростанции напряжение повышают, а у потребителя понижают.

Запомните

В генераторе $\mathcal{E}_m = NBS\omega$ ; частота сети $50$ Гц.
$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ , $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$ ; приборы показывают действующие значения.
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ , $X_L = \omega L$ , $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ , $I = \frac{U}{Z}$ .
$P = UI\cos\varphi = I^2R$ , $\cos\varphi = \frac{R}{Z}$ .
$k = \frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2}$ ; при $k > 1$ трансформатор понижающий; потери в линии $\sim \frac{1}{U^2}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
В сеть с частотой $50$ Гц и действующим напряжением $100$ В последовательно включены резистор $R = 30$ Ом, катушка индуктивностью $\frac{0{,}8}{\pi}$ Гн и конденсатор ёмкостью $\frac{250}{\pi}$ мкФ. Найдите силу тока, коэффициент мощности и выделяемую в цепи мощность.
Решение
1. $\omega = 2\pi\nu = 100\pi$ рад/с.
2. $X_L = \omega L = 100\pi \cdot \frac{0{,}8}{\pi} = 80$ Ом.
3. $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \cdot \frac{250 \cdot 10^{-6}}{\pi}} = \frac{1}{0{,}025} = 40$ Ом.
4. $Z = \sqrt{30^2 + (80 - 40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = 50$ Ом.
5. $I = \frac{U}{Z} = \frac{100}{50} = 2$ А; $\cos\varphi = \frac{R}{Z} = \frac{30}{50} = 0{,}6$ .
6. $P = I^2R = 2^2 \cdot 30 = 120$ Вт. Проверка: $UI\cos\varphi = 100 \cdot 2 \cdot 0{,}6 = 120$ Вт.
Ответ: $2$ А; $0{,}6$ ; $120$ Вт.
Пример 2
Первичная обмотка трансформатора имеет $1100$ витков и включена в сеть $220$ В. На вторичной обмотке нужно получить $44$ В. а) Сколько витков должно быть во вторичной обмотке и чему равен коэффициент трансформации? б) Через нагрузку во вторичной цепи идёт ток $5$ А, КПД трансформатора $80\%$ . Найдите силу тока в первичной обмотке.
Решение
а) $\frac{N_1}{N_2} = \frac{U_1}{U_2}$ , откуда $N_2 = 1100 \cdot \frac{44}{220} = 220$ витков. $k = \frac{1100}{220} = 5 > 1$ — трансформатор понижающий.

б) Полезная мощность $P_2 = U_2I_2 = 44 \cdot 5 = 220$ Вт. Потребляемая из сети мощность $P_1 = \frac{P_2}{\eta} = \frac{220}{0{,}8} = 275$ Вт. Ток в первичной обмотке $I_1 = \frac{P_1}{U_1} = \frac{275}{220} = 1{,}25$ А. (Без потерь было бы $I_1 = \frac{5}{5} = 1$ А.)

Ответ: $220$ витков, $k = 5$ ; $1{,}25$ А.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Мгновенное напряжение меняется по закону $u = 220\sqrt{2}\sin 100\pi t$ (В). Что показывает вольтметр и какова частота тока?
1. $220$ В; $50$ Гц
2. $311$ В; $50$ Гц
3. $220$ В; $100$ Гц
4. $311$ В; $100\pi$ Гц
5. $156$ В; $50$ Гц
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $220$ В; $50$ Гц
Амплитуда $U_m = 220\sqrt{2}$ В, а вольтметр показывает действующее значение: $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}} = 220$ В. $\omega = 2\pi\nu = 100\pi$ , откуда $\nu = 50$ Гц. $311$ В — это сама амплитуда, а $100$ Гц получается, если потерять множитель $2$ в $\omega = 2\pi\nu$ .
Напряжение в линии электропередачи при той же передаваемой мощности повысили с $10$ кВ до $100$ кВ. Как изменятся потери на нагрев проводов?
1. уменьшатся в $10$ раз
2. увеличатся в $10$ раз
3. увеличатся в $100$ раз
4. уменьшатся в $100$ раз
5. не изменятся
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D уменьшатся в $100$ раз
При постоянной мощности $I = \frac{P}{U\cos\varphi}$ , ток уменьшается в $10$ раз. Потери $I^2R$ уменьшаются в $10^2 = 100$ раз.
В цепи переменного тока с конденсатором частоту увеличили в $4$ раза, а ёмкость конденсатора уменьшили в $2$ раза. Как изменится ёмкостное сопротивление?
1. увеличится в $2$ раза
2. уменьшится в $8$ раз
3. уменьшится в $2$ раза
4. увеличится в $8$ раз
5. не изменится
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C уменьшится в $2$ раза
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ . Произведение $\omega C$ растёт в $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ раза, поэтому $X_C$ уменьшается в $2$ раза. Индуктивное сопротивление, наоборот, прямо пропорционально частоте: $X_L = \omega L$ .

Типичные ошибки

Путать амплитудное и действующее значения: $220$ В в сети — действующее значение, амплитуда $\approx 311$ В.
Складывать сопротивления как $R + X_L + X_C$ : правильно $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ .
Считать, что трансформатор работает на постоянном токе, или что при $k > 1$ напряжение повышается: при $k > 1$ трансформатор понижающий.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото