Sərbəst rəqslər və onların xarakteristikaları

Sistem tarazlıqdan çıxarılıb öz başına buraxıldıqda yalnız daxili qüvvələrin təsiri ilə baş verən rəqslər sərbəst (məxsusi) rəqslər adlanır. Onlar üçün cismi tarazlıq vəziyyətinə qaytaran qüvvə olmalı, sürtünmə isə kiçik olmalıdır.

Amplitud $A$ : tarazlıq vəziyyətindən ən böyük yerdəyişmə.
Period $T$ : bir tam rəqsin müddəti, $T = \frac{t}{n}$ ( $n$ rəqslərin sayıdır).
Tezlik $\nu = \frac{1}{T} = \frac{n}{t}$ , vahidi hers (Hs).
Dövri tezlik $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ , vahidi rad/s.

Harmonik rəqslərin tənliyi, sürət və təcil

Yaylı sistemdə qaytarıcı qüvvə $F = -kx$ -dir. Nyutonun ikinci qanunundan $a = -\frac{k}{m}x$ alınır. Ümumi halda sərbəst rəqslərin tənliyi belədir:

a = -\omega^2 x.

Bu tənliyin həlli harmonik rəqsdir, yəni koordinat kosinus (və ya sinus) qanunu ilə dəyişir:

x = A\cos(\omega t + \varphi_0).

$\varphi = \omega t + \varphi_0$ rəqsin fazası, $\varphi_0$ başlanğıc fazadır; faza verilmiş anda sistemin vəziyyətini müəyyən edir. Sürət və təcil də harmonik dəyişir:

v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0),

a = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0).

Buradan $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ . Tarazlıq vəziyyətində sürət maksimal, təcil sıfırdır; kənar nöqtələrdə isə əksinə.

Yaylı və riyazi rəqqas

Yaylı rəqqas sərtliyi $k$ olan yaydan asılmış $m$ kütləli yükdür. Onun üçün $\omega^2 = \frac{k}{m}$ , ona görə

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

Riyazi rəqqas uzanmayan çəkisiz sapdan asılmış maddi nöqtədir. Kiçik meyl bucaqlarında

T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.

Riyazi rəqqasın periodu kütlədən və kiçik amplituddan asılı deyil; yaylı rəqqasın periodu isə $g$ -dən asılı deyil.

Rəqsdə enerji, sönən və məcburi rəqslər

Yaylı rəqqasda kinetik enerji $\frac{mv^2}{2}$ və potensial enerji $\frac{kx^2}{2}$ bir-birinə çevrilir, cəmləri isə sabit qalır:

E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}.

Kənar nöqtələrdə enerji tamamilə potensial, tarazlıq vəziyyətində isə tamamilə kinetikdir. Kinetik və potensial enerjinin hər biri rəqs tezliyindən iki dəfə böyük tezliklə dəyişir.

Real sistemlərdə sürtünmə enerjini azaldır və amplitud tədricən kiçilir: bunlar sönən rəqslərdir. Xarici dövri qüvvənin təsiri ilə baş verən rəqslər məcburi rəqslər adlanır; onların tezliyi xarici qüvvənin tezliyinə bərabərdir. Xarici qüvvənin tezliyi sistemin məxsusi tezliyinə bərabər olduqda məcburi rəqslərin amplitudunun kəskin artması rezonans adlanır.

Dalğalar və səs

Rəqslərin elastiki mühitdə yayılması dalğa adlanır. Dalğa enerji daşıyır, maddəni isə daşımır: mühitin hissəcikləri öz yerlərində rəqs edir.

Eninə dalğada hissəciklər yayılma istiqamətinə perpendikulyar rəqs edir; belə dalğalar bərk cisimlərdə və mayenin səthində yaranır.
Uzununa dalğada hissəciklər yayılma istiqaməti boyunca rəqs edir; belə dalğalar bərk, maye və qaz mühitdə yayılır.

Bir period ərzində dalğanın getdiyi məsafə dalğa uzunluğudur: $\lambda = vT = \frac{v}{\nu}$ . Dalğa bir mühitdən digərinə keçəndə tezlik dəyişmir, sürət və dalğa uzunluğu dəyişir.

Səs elastiki mühitdə yayılan uzununa dalğadır; insan təxminən $16$ Hs ilə $20\,000$ Hs arasındakı tezlikləri eşidir. Daha kiçik tezliklər infrasəs, daha böyükləri ultrasəsdir. Səs vakuumda yayılmır; onun sürəti havada təxminən $340$ m/s, suda təxminən $1500$ m/s-dir, bərk cisimlərdə daha böyükdür. Maneədən qayıdan səs əks-sədadır. Səs lokasiyasında siqnal göndərilir və onun qayıtma müddəti $t$ ölçülür, maneəyə qədər məsafə $s = \frac{vt}{2}$ olur. Yarasalar və delfinlər də ultrasəslə lokasiya edir.

Yadda saxla

$T = \frac{t}{n}$ , $\nu = \frac{1}{T}$ , $\omega = 2\pi\nu = \frac{2\pi}{T}$ .
$x = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ ; $a = -\omega^2 x$ ; $v_{\max} = A\omega$ , $a_{\max} = A\omega^2$ .
Yaylı rəqqas: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ ; riyazi rəqqas: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ .
$E = \frac{kA^2}{2} = \frac{mv_{\max}^2}{2}$ ; rezonans xarici qüvvənin tezliyi məxsusi tezliyə bərabər olduqda baş verir.
$\lambda = vT = \frac{v}{\nu}$ ; səs uzununa dalğadır və vakuumda yayılmır; lokasiyada $s = \frac{vt}{2}$ .

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Kütləsi $0{,}1$ kq olan yaylı rəqqasın rəqsləri $x = 0{,}05\cos 20t$ (m) tənliyi ilə verilir. Amplitudu, periodu, yayın sərtliyini, maksimal sürəti və tam mexaniki enerjini tapın.
Həlli
1. Tənliyi $x = A\cos\omega t$ ilə müqayisə edirik: $A = 0{,}05$ m $= 5$ sm, $\omega = 20$ rad/s.
2. $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0{,}31$ s.
3. $\omega^2 = \frac{k}{m}$ , deməli $k = m\omega^2 = 0{,}1 \cdot 400 = 40$ N/m.
4. $v_{\max} = A\omega = 0{,}05 \cdot 20 = 1$ m/s.
5. $E = \frac{kA^2}{2} = \frac{40 \cdot 0{,}0025}{2} = 0{,}05$ C. Yoxlama: $\frac{mv_{\max}^2}{2} = \frac{0{,}1 \cdot 1^2}{2} = 0{,}05$ C.
Cavab: $A = 5$ sm, $T \approx 0{,}31$ s, $k = 40$ N/m, $v_{\max} = 1$ m/s, $E = 0{,}05$ C.
Misal 2
Gəmidən dənizin dibinə göndərilən ultrasəs siqnalı $2$ s sonra qayıtdı. Səsin suda sürəti $1500$ m/s-dir. Dənizin dərinliyini, siqnalın tezliyi $30$ kHs olarsa, onun suda dalğa uzunluğunu da tapın.
Həlli
1. Siqnal dibə qədər gedib qayıdır, yəni $2h$ yol keçir: $2h = vt$ .
2. $h = \frac{vt}{2} = \frac{1500 \cdot 2}{2} = 1500$ m.
3. $\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{1500}{30\,000} = 0{,}05$ m $= 5$ sm.
Cavab: $1500$ m; $5$ sm.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Riyazi rəqqasın sapının uzunluğunu $4$ dəfə artırsaq, onun rəqs periodu necə dəyişər?
1. $4$ dəfə azalar
2. $2$ dəfə azalar
3. dəyişməz
4. $2$ dəfə artar
5. $4$ dəfə artar
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $2$ dəfə artar
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ , yəni $T \sim \sqrt{l}$ . $\sqrt{4} = 2$ , ona görə period $2$ dəfə artır.
Havada səsin sürəti $340$ m/s-dir. Tezliyi $680$ Hs olan səs dalğasının uzunluğu nə qədərdir?
1. $0{,}25$ m
2. $0{,}5$ m
3. $1$ m
4. $2$ m
5. $4$ m
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $0{,}5$ m
$\lambda = \frac{v}{\nu} = \frac{340}{680} = 0{,}5$ m. $2$ m cavabı tezliyi sürətə böləndə alınır.
Yaylı rəqqas $\nu$ tezliyi ilə harmonik rəqs edir. Onun kinetik enerjisi hansı tezliklə dəyişir?
1. $\frac{\nu}{2}$
2. $\nu$
3. $2\nu$
4. $4\nu$
5. kinetik enerji dəyişmir
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $2\nu$
Bir period ərzində yük tarazlıq vəziyyətindən iki dəfə keçir (kinetik enerji maksimaldır) və iki dəfə kənar nöqtədə olur (kinetik enerji sıfırdır). Deməli, kinetik enerjinin dəyişmə periodu $\frac{T}{2}$ , tezliyi isə $2\nu$ -dür.

Tipik səhvlər

Tezliklə dövri tezliyi qarışdırmaq. $x = A\cos 20t$ tənliyində $20$ rad/s dövri tezlikdir, adi tezlik isə $\nu = \frac{20}{2\pi} \approx 3{,}2$ Hs-dir.
Riyazi rəqqasın periodunun kütlədən asılı olduğunu düşünmək. Kütlə yalnız yaylı rəqqasın periodunu dəyişir, $g$ isə yalnız riyazi rəqqasınkını.
Əks-səda və lokasiya məsələlərində $s = vt$ yazmaq. Səs maneəyə gedib qayıdır, ona görə məsafə $s = \frac{vt}{2}$ -dir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et