Давление и сила давления

Сила, действующая перпендикулярно поверхности, называется силой давления, а её отношение к площади поверхности — давлением:

p = \frac{F}{S},

F = pS.

Единица давления — паскаль: $1$ Па $= 1$ Н/м². При той же силе давление растёт с уменьшением площади (острый нож, игла) и падает с её увеличением (гусеницы трактора, широкий фундамент). Для тела на горизонтальной опоре $F = mg$ .

Твёрдое тело передаёт силу только в направлении её действия. В жидкостях и газах частицы подвижны, поэтому давление передаётся во всех направлениях. Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда; оно растёт при уменьшении объёма или при нагревании газа.

Закон Паскаля и гидростатическое давление

Закон Паскаля: давление, производимое на жидкость или газ, передаётся в каждую их точку без изменения во всех направлениях.

Гидростатическое давление — давление, которое жидкость создаёт своим весом:

p = \rho g h,

где $h$ — глубина точки под поверхностью жидкости. Оно не зависит от формы сосуда и количества жидкости и на одной глубине одинаково во всех направлениях. В открытом сосуде полное давление $p = p_0 + \rho g h$ ( $p_0$ — атмосферное давление). Сила давления на дно $F = \rho g h S$ .

Давление измеряют манометрами. Открытый жидкостный манометр — это U-образная трубка: разность уровней $\Delta h$ показывает разность давлений $\Delta p = \rho g\,\Delta h$ . Большие давления измеряют металлическими (трубчатыми) манометрами.

Сообщающиеся сосуды и гидравлическая машина

В сообщающихся сосудах однородная жидкость устанавливается на одном уровне (чайник, водонапорная башня, шлюзы). Если жидкости разные, высоты их столбов, отсчитанные от границы раздела, обратно пропорциональны плотностям:

\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2.

Гидравлическая машина работает на основе закона Паскаля: давление на малый поршень без изменения передаётся на большой:

\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}

\Rightarrow \quad \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}.

Выигрыш в силе равен отношению площадей, но во столько же раз проигрываем в пути: объём вытесняемой жидкости один и тот же, $S_1 h_1 = S_2 h_2$ , а в идеальном случае $F_1 h_1 = F_2 h_2$ . Так работают гидравлический пресс, домкрат, тормозная система автомобиля.

Атмосферное давление

Вес воздуха создаёт у поверхности Земли атмосферное давление. В опыте Торричелли запаянную с одного конца трубку, заполненную ртутью, опускают открытым концом в чашку с ртутью; ртутный столб останавливается на высоте около $760$ мм, а над ним остаётся пустота. Нормальное атмосферное давление:

p_0 = \rho_{\text{Hg}}\, g\, h \approx 13600 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}76 \approx 1{,}013 \cdot 10^5 \text{ Па},

$1$ мм рт. ст. $\approx 133{,}3$ Па.

Атмосферное давление измеряют барометрами: ртутным и металлическим (барометр-анероид). С высотой давление уменьшается: у поверхности Земли примерно на $1$ мм рт. ст. на каждые $12$ м подъёма. На этой зависимости основан высотомер (альтиметр).

Закон Архимеда и условие плавания тел

На тело, погружённое в жидкость (газ), действует направленная вверх сила Архимеда, равная весу вытесненной телом жидкости:

F_A = \rho_{\text{ж}}\, g\, V_{\text{погр}}.

Она возникает из-за разности гидростатических давлений на нижнюю и верхнюю поверхности тела. Вес тела в жидкости $P_1 = mg - F_A$ .

Условие плавания тел:

если $F_A < mg$ , то есть $\rho_{\text{т}} > \rho_{\text{ж}}$ , тело тонет;
если $\rho_{\text{т}} = \rho_{\text{ж}}$ , тело находится в равновесии в любом месте внутри жидкости;
если $\rho_{\text{т}} < \rho_{\text{ж}}$ , тело всплывает и плавает, частично погрузившись: $\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}$ .

Плотность жидкости измеряют ареометром — стеклянным поплавком со шкалой. Чем меньше плотность жидкости, тем глубже он погружается, поэтому значения на шкале растут сверху вниз.

Запомните

$p = \frac{F}{S}$ ; $1$ Па $= 1$ Н/м².
Гидростатическое давление $p = \rho g h$ не зависит от формы сосуда; в открытом сосуде полное давление $p_0 + \rho g h$ .
Гидравлическая машина: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$ , проигрыш в пути: $S_1 h_1 = S_2 h_2$ .
Нормальное атмосферное давление: $760$ мм рт. ст. $\approx 1{,}013 \cdot 10^5$ Па.
$F_A = \rho_{\text{ж}} g V_{\text{погр}}$ ; для плавающего тела $\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите полное давление в озере на глубине $20$ м. Во сколько раз оно больше атмосферного? ( $p_0 = 10^5$ Па, $\rho = 1000$ кг/м³, $g = 10$ м/с²)
Решение
1. Гидростатическое давление: $p_h = \rho g h = 1000 \cdot 10 \cdot 20 = 2 \cdot 10^5$ Па.
2. Озеро открытое, на поверхность воды давит ещё и атмосфера: $p = p_0 + \rho g h = 10^5 + 2 \cdot 10^5 = 3 \cdot 10^5$ Па.
3. $\frac{p}{p_0} = \frac{3 \cdot 10^5}{10^5} = 3$ .
Заметьте: если бы спрашивали только гидростатическое давление, ответ был бы $2 \cdot 10^5$ Па. В воде каждые $10$ м глубины добавляют примерно одну атмосферу.

Ответ: $3 \cdot 10^5$ Па; в $3$ раза.
Пример 2
Площадь малого поршня гидравлического пресса $5$ см², большого — $500$ см². На малый поршень действует сила $200$ Н. а) С какой силой давит большой поршень? б) На сколько поднимется большой поршень, если малый опустится на $20$ см? (Трение не учитывать.)
Решение
а) По закону Паскаля давления под поршнями равны: $F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 200 \cdot \frac{500}{5} = 20\,000$ Н $= 20$ кН. Площади входят отношением, поэтому переводить см² в м² не нужно.

б) Объём жидкости не меняется: $S_1 h_1 = S_2 h_2$ , откуда $h_2 = h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} = 20 \cdot \frac{5}{500} = 0{,}2$ см $= 2$ мм.

Проверка: $F_1 h_1 = 200 \cdot 0{,}2 = 40$ Дж и $F_2 h_2 = 20\,000 \cdot 0{,}002 = 40$ Дж — работа одинакова.

Ответ: $20$ кН; $2$ мм.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

В U-образной трубке находится вода. В одно колено поверх воды налили масло высотой $10$ см ( $\rho_{\text{м}} = 800$ кг/м³, $\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м³). Какова разность уровней жидкостей в коленах?
1. $8$ см
2. $2$ см
3. $10$ см
4. $1{,}25$ см
5. $18$ см
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $2$ см
Отсчитываем от границы масла и воды: $\rho_{\text{м}} h_{\text{м}} = \rho_{\text{в}} h_{\text{в}}$ , $h_{\text{в}} = \frac{800 \cdot 10}{1000} = 8$ см. Столб масла $10$ см уравновешен столбом воды $8$ см, разность уровней $10 - 8 = 2$ см. $8$ см — это сам столб воды, а не разность.
Алюминиевое тело, вес которого в воздухе $27$ Н, полностью погрузили в воду. Каков его вес в воде? ( $\rho_{\text{Al}} = 2700$ кг/м³, $\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м³, $g = 10$ м/с²)
1. $10$ Н
2. $37$ Н
3. $17$ Н
4. $27$ Н
5. $24{,}3$ Н
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $17$ Н
$m = \frac{27}{10} = 2{,}7$ кг, $V = \frac{m}{\rho} = \frac{2{,}7}{2700} = 10^{-3}$ м³. $F_A = 1000 \cdot 10 \cdot 10^{-3} = 10$ Н. Вес в воде $27 - 10 = 17$ Н. $10$ Н — это сама сила Архимеда, а $37$ Н получается, если силы сложить.
У подножия горы барометр показывает $760$ мм рт. ст., а на вершине $722$ мм рт. ст. Считая, что на каждые $12$ м подъёма давление падает примерно на $1$ мм рт. ст., найдите высоту горы.
1. $456$ м
2. $38$ м
3. $380$ м
4. $912$ м
5. $722$ м
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $456$ м
Разность давлений $760 - 722 = 38$ мм рт. ст. Высота $h \approx 38 \cdot 12 = 456$ м.

Типичные ошибки

Брать в формуле гидростатического давления высоту точки над дном: $h$ — это глубина под поверхностью жидкости. Частая ошибка и в том, чтобы забыть $p_0$ , когда спрашивают полное давление.
Подставлять в силу Архимеда плотность тела или полный объём плавающего тела: в формуле плотность жидкости и объём погружённой части.
Путать в гидравлической машине отношение диаметров с отношением площадей: площадь пропорциональна квадрату диаметра, при диаметре в $3$ раза больше выигрыш в силе в $9$ раз.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото