Электроёмкость и конденсатор

Если уединённому проводнику сообщать всё больший заряд, его потенциал растёт пропорционально заряду. Коэффициент этой пропорциональности называют электроёмкостью. Конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), разделённых тонким слоем диэлектрика. Заряды обкладок равны по модулю и противоположны по знаку: $+q$ и $-q$ ; $q$ называют зарядом конденсатора. Ёмкость конденсатора:

C=\dfrac{q}{U},

где $U$ — напряжение между обкладками. Единица ёмкости — фарад: 1 Ф = 1 Кл/В. Фарад — очень большая единица, поэтому на практике используют мкФ ( $10^{-6}$ Ф), нФ ( $10^{-9}$ Ф) и пФ ( $10^{-12}$ Ф).

Ёмкость не зависит от заряда и напряжения: если $q$ увеличить в 2 раза, в 2 раза вырастет и $U$ , а $C$ не изменится. Ёмкость зависит только от размеров и формы обкладок и от диэлектрика.

Плоский конденсатор и его поле

В плоском конденсаторе две параллельные пластины площадью $S$ находятся на расстоянии $d$ друг от друга:

C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d},

\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\ \text{Ф/м}.

$\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами (для воздуха $\varepsilon\approx1$ ). Поле между пластинами однородное, а вне конденсатора практически равно нулю:

E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{q}{\varepsilon\varepsilon_0S}.

Откуда берётся такое поле? Пластина с поверхностной плотностью заряда $\sigma=\dfrac qS$ создаёт по обе стороны от себя поле напряжённостью $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon\varepsilon_0}$ . Между пластинами поля двух пластин направлены одинаково и складываются: $E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon\varepsilon_0}$ ; снаружи они направлены противоположно и компенсируют друг друга. Если между пластинами ввести диэлектрик, ёмкость увеличится в $\varepsilon$ раз.

В задаче сначала выясните, какая величина остаётся постоянной:

конденсатор подключён к источнику — $U=\text{const}$ ;
конденсатор отключён от источника — $q=\text{const}$ .

Например, если у отключённого конденсатора увеличить $d$ в 2 раза, то $C$ уменьшится в 2 раза, $U=\dfrac qC$ увеличится в 2 раза, а $E$ не изменится.

Энергия электрического поля

Чтобы зарядить конденсатор, нужно совершить работу; она превращается в энергию электрического поля между обкладками:

W=\dfrac{qU}{2}=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{q^2}{2C}.

Энергию, приходящуюся на единицу объёма, называют плотностью энергии:

w=\dfrac{W}{V}=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0E^2}{2},

единица — Дж/м³. Формулу удобно выбирать по постоянной величине: при $U=\text{const}$ — $W=\dfrac{CU^2}{2}$ , при $q=\text{const}$ — $W=\dfrac{q^2}{2C}$ .

Соединение конденсаторов

При параллельном соединении напряжение на всех конденсаторах одинаково, а заряды складываются:

C=C_1+C_2+\dots

При последовательном соединении заряды всех конденсаторов одинаковы, а напряжения складываются:

\dfrac1C=\dfrac1{C_1}+\dfrac1{C_2}+\dots

Для двух конденсаторов $C=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ . Для $n$ одинаковых конденсаторов ёмкостью $C_0$ : параллельно — $nC_0$ , последовательно — $\dfrac{C_0}{n}$ . При смешанном соединении сначала замените простые группы (параллельные или последовательные участки) одним конденсатором, а затем найдите общую ёмкость.

Внимание: эти формулы «обратны» формулам для резисторов. При последовательном соединении общая ёмкость меньше наименьшей, при параллельном — больше наибольшей.

Запомните

$C=\dfrac qU$ ; ёмкость не зависит от $q$ и $U$ .
Плоский конденсатор: $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{d}$ , $\;E=\dfrac Ud$ .
Подключён к источнику — $U=\text{const}$ ; отключён — $q=\text{const}$ .
$W=\dfrac{qU}2=\dfrac{CU^2}2=\dfrac{q^2}{2C}$ , $\;w=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0E^2}2$ .
Параллельно: $C=C_1+C_2$ (одинаковое $U$ ); последовательно: $\dfrac1C=\dfrac1{C_1}+\dfrac1{C_2}$ (одинаковый $q$ ).

Разобранные примеры

Пример 1
Площадь каждой пластины плоского воздушного конденсатора 200 см², расстояние между пластинами 1 мм. Конденсатор подключён к источнику напряжением 100 В. Найдите его ёмкость, заряд, энергию и напряжённость поля между пластинами.
Решение
1. Переведём в СИ: $S=200$ см² $=0{,}02$ м², $d=10^{-3}$ м.
2. $C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}=\dfrac{8{,}85\cdot10^{-12}\cdot0{,}02}{10^{-3}}=1{,}77\cdot10^{-10}$ Ф $=177$ пФ.
3. $q=CU=1{,}77\cdot10^{-10}\cdot100=1{,}77\cdot10^{-8}$ Кл.
4. $W=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{1{,}77\cdot10^{-10}\cdot10^4}{2}\approx8{,}9\cdot10^{-7}$ Дж.
5. $E=\dfrac Ud=\dfrac{100}{10^{-3}}=10^5$ В/м.
Ответ: $C=177$ пФ, $q\approx1{,}8\cdot10^{-8}$ Кл, $W\approx8{,}9\cdot10^{-7}$ Дж, $E=10^5$ В/м.
Пример 2
Конденсаторы ёмкостью 3 мкФ и 6 мкФ соединены последовательно и подключены к напряжению 12 В. Найдите общую ёмкость, заряд и напряжение на каждом конденсаторе.
Решение
1. $C=\dfrac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\dfrac{3\cdot6}{3+6}=2$ мкФ.
2. При последовательном соединении заряд одинаков: $q=CU=2\cdot12=24$ мкКл.
3. $U_1=\dfrac q{C_1}=\dfrac{24}{3}=8$ В, $\;U_2=\dfrac q{C_2}=\dfrac{24}{6}=4$ В. Проверка: $8+4=12$ В.
Ответ: 2 мкФ, 24 мкКл, 8 В и 4 В. На конденсаторе меньшей ёмкости напряжение больше.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Заряженный конденсатор отключили от источника и увеличили расстояние между пластинами в 2 раза. Как изменилась энергия конденсатора?
1. уменьшилась в 2 раза
2. не изменилась
3. увеличилась в 2 раза
4. увеличилась в 4 раза
5. уменьшилась в 4 раза
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C увеличилась в 2 раза
Конденсатор отключён, поэтому $q=\text{const}$ . Ёмкость $C=\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}d$ уменьшается в 2 раза, значит, $W=\dfrac{q^2}{2C}$ увеличивается в 2 раза. Прирост энергии получен за счёт работы внешних сил, раздвигающих пластины.
Три одинаковых конденсатора ёмкостью по 6 мкФ соединены последовательно. Найдите ёмкость батареи.
1. 18 мкФ
2. 6 мкФ
3. 3 мкФ
4. 12 мкФ
5. 2 мкФ
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E 2 мкФ
$\dfrac1C=\dfrac16+\dfrac16+\dfrac16=\dfrac12$ , откуда $C=2$ мкФ. Короче: $\dfrac{C_0}{n}=\dfrac63=2$ мкФ.
Конденсатор ёмкостью 5 мкФ заряжен до напряжения 200 В. Найдите его энергию.
1. 0,05 Дж
2. 0,2 Дж
3. 1 Дж
4. 0,1 Дж
5. 2 Дж
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 0,1 Дж
$W=\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot200^2}{2}=\dfrac{5\cdot10^{-6}\cdot4\cdot10^4}{2}=0{,}1$ Дж.

Типичные ошибки

Считать, что ёмкость зависит от заряда или напряжения: $C=\dfrac qU$ — лишь способ её вычислить, а сама ёмкость определяется размерами и диэлектриком.
Записывать формулы последовательного и параллельного соединения как для резисторов: у конденсаторов при параллельном соединении складываются ёмкости.
Не различать конденсатор, подключённый к источнику и отключённый от него, а также забывать переводить см² в м² и мм в м.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото