Что такое одночлен?

Произведение чисел, переменных и степеней переменных с натуральным показателем называется одночленом. Например, $5$ , $x$ , $-3y^2$ , $2ab^3$ , $\frac{1}{2}x^2yz^4$ — одночлены. Любое число и любая отдельная переменная также являются одночленами. Выражения, содержащие операции сложения или вычитания между переменными, не являются одночленами.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это такая запись, в которой содержится только один числовой множитель (коэффициент), а каждая переменная записана один раз, с различными буквами, и каждая переменная имеет натуральный показатель степени. Например, $3x^2y^3$ — одночлен стандартного вида. Чтобы привести одночлен к стандартному виду:

Перемножьте все числовые множители и запишите результат первым как коэффициент.
Запишите степени одинаковых переменных в виде одной степени переменной (сложите показатели).
Расположите переменные в алфавитном порядке. Например, $2x \cdot 3y^2 \cdot x^3 = (2 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^3) \cdot y^2 = 6x^{1+3}y^2 = 6x^4y^2$ .

Коэффициент и степень одночлена

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называется коэффициентом одночлена. Например, в одночлене $6x^4y^2$ коэффициент равен $6$ . Если коэффициент равен $1$ , его обычно не пишут (например, коэффициент одночлена $x^2y$ равен $1$ ). Если коэффициент равен $-1$ , то записывают только знак минус (например, коэффициент одночлена $-ab^2$ равен $-1$ ). Сумма показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен, записанный в стандартном виде, называется степенью одночлена. Например, степень одночлена $6x^4y^2$ равна $4+2=6$ . Степень числового одночлена (не содержащего переменных) равна нулю (например, степень числа $5$ равна $0$ ).

Подобные одночлены

Одночлены стандартного вида, которые отличаются друг от друга только коэффициентами или совпадают, называются подобными одночленами. Буквенные части подобных одночленов должны быть одинаковыми. Например, $5a^2b$ и $-3a^2b$ — подобные одночлены, так как их буквенные части ( $a^2b$ ) одинаковы. $2xy$ и $2x^2y$ не являются подобными, так как их буквенные части различны.

Запомните

Произведение чисел, переменных и степеней переменных с натуральным показателем — одночлен.
В стандартном виде один числовой коэффициент и переменные в алфавитном порядке записываются один раз.
Коэффициент — числовой множитель, степень — сумма показателей степеней переменных.
Степень числового одночлена равна $0$ .
Одночлены стандартного вида с одинаковыми буквенными частями называются подобными.

Разобранные примеры

Пример 1
Приведите одночлен $\frac{1}{3}xy^2 \cdot (-9)x^3y$ к стандартному виду, найдите его коэффициент и степень.
Решение
1. Перемножаем числовые множители: $\frac{1}{3} \cdot (-9) = -3$ .
2. Складываем показатели степеней одинаковых переменных: $x \cdot x^3 = x^{1+3} = x^4$ , $y^2 \cdot y = y^{2+1} = y^3$ .
3. Стандартный вид одночлена: $-3x^4y^3$ .
4. Коэффициент: $-3$ .
5. Степень: $4+3=7$ . Ответ: Стандартный вид $-3x^4y^3$ , коэффициент $-3$ , степень $7$ .
Пример 2
Найдите значение одночлена $A = 2x^2y^3$ при $x=-1$ , $y=2$ .
Решение
Подставляем заданные значения $x$ и $y$ в одночлен: $A = 2 \cdot (-1)^2 \cdot (2)^3 = 2 \cdot 1 \cdot 8 = 16$ . Ответ: $16$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какой из следующих одночленов не находится в стандартном виде?
1. $7a^2b^3$
2. $-x^5y$
3. $4xy \cdot 2x^2$
4. $ab^2c^3$
5. $0{,}5m^4n^2$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $4xy \cdot 2x^2$
В выражении $4xy \cdot 2x^2$ числовые множители ( $4$ и $2$ ) не перемножены, и переменная $x$ записана дважды. Стандартный вид: $8x^3y$ .
Найдите $n$ , если степень одночлена $5a^nx^3y^2$ равна $10$ .
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D 5
Степень одночлена равна сумме показателей степеней переменных. $n+3+2=10$ , то есть $n+5=10$ , откуда $n=5$ .
Какая из следующих пар одночленов является подобными одночленами?
1. $3x^2y$ и $3xy^2$
2. $5ab$ и $-2ba$
3. $4m^3n$ и $4m^2n^2$
4. $x^2y^3$ и $y^2x^3$
5. $7a^2b^2$ и $7a^2c^2$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $5ab$ и $-2ba$
Подобные одночлены должны иметь одинаковые буквенные части. У одночленов $5ab$ и $-2ba$ буквенные части $ab$ (так как $ba=ab$ ) одинаковы.

Типичные ошибки

При записи одночлена в стандартном виде не перемножать полностью числовые множители в один коэффициент. Например, оставлять $2x3y$ или $2 \cdot 3xy$ вместо $6xy$ для выражения $2x \cdot 3y$ .
Не объединять степени одинаковых переменных. Например, оставлять $x^2x^3y$ вместо $x^5y$ для выражения $x^2y \cdot x^3$ .
При нахождении степени одночлена не учитывать переменную с показателем $1$ или, наоборот, прибавлять к степени показатель числового коэффициента. Например, считать степень одночлена $3xy^2$ равной $2$ (правильно $1+2=3$ ).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото