Переменная и выражение

Запись, составленная из чисел, букв, знаков действий и скобок, называется выражением с переменными, например: $3a + 5$ , $\dfrac{x - 2}{x + 1}$ , $2(m + n)$ . Буквы $a$ , $x$ , $m$ , $n$ здесь являются переменными: вместо них можно подставлять разные числа.

Знак умножения между числом и буквой или между двумя буквами обычно не пишут: $3a = 3 \cdot a$ , $ab = a \cdot b$ . Между двумя числами знак умножения обязателен: $3 \cdot 5$ нельзя записать как $35$ .

Значение выражения

Если подставить вместо переменной число и выполнить все действия, получится значение выражения. Отрицательные числа и дроби берите в скобки. Например, при $a = -3$

2a^2 - a = 2 \cdot (-3)^2 - (-3) = 18 + 3 = 21.

При разных значениях переменной одно и то же выражение принимает разные значения: $5 - 2x$ при $x = 1$ равно $3$ , а при $x = 4$ равно $-3$ .

Иногда даны не сами переменные, а значение составленного из них выражения. Тогда искомое выражение записывают через него. Если $a - b = 4$ , то

3a - 3b + 7 = 3(a - b) + 7 = 3 \cdot 4 + 7 = 19.

Находить $a$ и $b$ по отдельности здесь не нужно.

Допустимые значения переменной (ОДЗ)

Значения переменной, при которых выражение имеет смысл, называются допустимыми значениями переменной, а множество всех таких значений называют областью допустимых значений (ОДЗ). Для дробных выражений главное условие такое: знаменатель не может равняться нулю.

Выражение $2x^2 - 7x + 1$ имеет смысл при любом $x$ .
Выражение $\dfrac{5}{x - 4}$ не имеет смысла при $x = 4$ ; ОДЗ: $x \neq 4$ .
У выражения $\dfrac{x + 1}{x(x + 3)}$ знаменатель равен нулю при $x = 0$ и $x = -3$ ; ОДЗ: $x \neq 0$ , $x \neq -3$ .

Числитель может быть равен нулю: выражение $\dfrac{x - 2}{5}$ при $x = 2$ равно $0$ и имеет смысл.

Составление выражений по тексту

В текстовых задачах слова нужно перевести в математическую запись:

число, на 3 большее $n$ , записывается как $n + 3$ , а число, в 3 раза большее $n$ , — как $3n$ ;
три последовательных натуральных числа: $n$ , $n + 1$ , $n + 2$ ;
чётное число записывают как $2n$ , нечётное — как $2n + 1$ ( $n$ — целое число);
двузначное число с цифрой десятков $a$ и цифрой единиц $b$ равно $\overline{ab} = 10a + b$ (а не $ab$ , ведь $ab$ — это произведение цифр);
путь за $t$ часов при скорости $v$ км/ч равен $vt$ км, а стоимость $n$ предметов по $p$ манатов равна $pn$ манатов.

Запомните

Чтобы найти значение выражения, вместо переменной подставляют число; отрицательные числа и дроби берут в скобки: при $x = -3$ имеем $x^2 = (-3)^2 = 9$ .
Если дано значение выражения из переменных ( $a - b$ , $a + b$ , $ab$ ), запишите искомое выражение через него.
При нахождении ОДЗ исключают значения, обращающие знаменатель в нуль; числитель может быть равен нулю.
$\overline{ab} = 10a + b$ , $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ .
«Больше на 3» записывают как $n + 3$ , а «больше в 3 раза» — как $3n$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите значение выражения $\dfrac{x^2 - 2xy}{y - x}$ при $x = -2$ , $y = 3$ .
Решение
Вычислим числитель, взяв отрицательное число в скобки:

$x^2 - 2xy = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) \cdot 3 = 4 + 12 = 16.$

Знаменатель: $y - x = 3 - (-2) = 5$ .

Значение выражения: $\dfrac{16}{5} = 3{,}2$ .

Ответ: $3{,}2$ .
Пример 2
Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если из этого числа вычесть число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, получится 27. Найдите число.
Решение
Пусть число равно $\overline{ab} = 10a + b$ , тогда число с переставленными цифрами равно $\overline{ba} = 10b + a$ . Запишем разность в виде выражения:

$(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b).$

По условию $9(a - b) = 27$ , то есть $a - b = 3$ . Кроме того, $a + b = 9$ . Сложив эти равенства, получим $2a = 12$ , $a = 6$ , тогда $b = 3$ .

Проверка: $6 + 3 = 9$ и $63 - 36 = 27$ .

Ответ: 63.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите значение выражения $4a^2 - 2a + 1$ при $a = -\dfrac{1}{2}$ .
1. 1
2. $-1$
3. 2
4. 0
5. 3
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E 3
$4 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 1 = 4 \cdot \dfrac{1}{4} + 1 + 1 = 3$ .
Известно, что $x + y = 5$ и $xy = 3$ . Найдите значение выражения $x^2y + xy^2$ .
1. 15
2. 8
3. 25
4. 45
5. 75
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 15
Вынесем общий множитель за скобки: $x^2y + xy^2 = xy(x + y) = 3 \cdot 5 = 15$ .
При каких значениях $x$ выражение $\dfrac{x + 5}{x^2 - 4x}$ не имеет смысла?
1. только при $x = 4$
2. при $x = -5$
3. при $x = 0$ и $x = -4$
4. при $x = 0$ и $x = 4$
5. при $x = -5$ , $x = 0$ и $x = 4$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D при $x = 0$ и $x = 4$
Выражение не имеет смысла, когда знаменатель равен нулю: $x^2 - 4x = x(x - 4) = 0$ , то есть $x = 0$ или $x = 4$ . При $x = -5$ нулю равен числитель, а это допустимо.

Типичные ошибки

Подставлять отрицательное число без скобок: при $x = -3$ вместо $x^2$ считать $-3^2 = -9$ . Верно: $(-3)^2 = 9$ .
Записывать двузначное число как $ab$ : $ab$ — это произведение цифр, а само число равно $10a + b$ .
При поиске ОДЗ исключать и те значения, при которых нулю равен числитель: ограничение есть только для знаменателя.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото