Числовые выражения и порядок действий

Запись из чисел, знаков действий ($+$, $-$, $\cdot$, $:$) и скобок называется числовым выражением, например: $7 + 3 \cdot 5$, $\dfrac{12 - 4}{2}$, $(2{,}5 - 1) \cdot 4$. Число, которое получается после выполнения всех действий, называется значением выражения.

Если в выражении есть деление на нуль, выражение не имеет смысла. Например, у выражения $12 : (5 - 5)$ значения нет, так как значение скобки равно нулю.

Выражение называют по последнему выполняемому действию: $7 + 3 \cdot 5$ — это сумма (последнее действие сложение), а $(7 + 3) \cdot 5$ — произведение. Например, «разность частного чисел 35 и 5 и числа 4» записывается как $35 : 5 - 4 = 3$.

Действия выполняются в таком порядке:

1. действия в скобках (если скобок несколько, сначала во внутренних);
2. возведение в степень;
3. умножение и деление слева направо, в порядке записи;
4. сложение и вычитание слева направо, в порядке записи.

Умножение не «старше» деления: это действия одной ступени. Поэтому $24 : 6 \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$, а не $2$. Точно так же $10 - 4 + 3 = 9$, а не $3$.

Черта дроби работает как скобки: в выражении $\dfrac{8 + 4}{2 + 1}$ сначала отдельно вычисляют числитель ($12$) и знаменатель ($3$), затем делят: $12 : 3 = 4$.

Если скобки вложены друг в друга, вычисляем изнутри наружу: $2 \cdot [18 - (3 + 5) \cdot 2] = 2 \cdot [18 - 16] = 2 \cdot 2 = 4$.

Степень относится только к числу, которое стоит непосредственно перед ней:

Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная отрицательна: $(-2)^3 = -8$, $(-1)^{5} = -1$, $(-1)^{100} = 1$.

Вычесть отрицательное число значит прибавить противоположное ему: $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Правило знаков при умножении и делении: произведение и частное двух чисел с одинаковыми знаками положительны, а с разными знаками отрицательны: $(-6) \cdot (-2) = 12$, $(-12) : 4 = -3$.

Свойства действий часто сокращают длинные вычисления:

• распределительное свойство: $37 \cdot 48 + 37 \cdot 52 = 37 \cdot (48 + 52) = 3700$;
• переместительное и сочетательное свойства: $25 \cdot 17 \cdot 4 = (25 \cdot 4) \cdot 17 = 1700$;
• вынесение общего множителя за скобки работает и в дробях: $\dfrac{3{,}6 \cdot 7 - 3{,}6 \cdot 2}{1{,}8} = \dfrac{3{,}6 \cdot 5}{1{,}8} = 10$.

Если в выражении перемешаны десятичные и обыкновенные дроби, удобно привести их к одному виду: $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$, $0{,}25 = \dfrac{1}{4}$, $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$.

Дробь, в числителе или знаменателе которой стоит другая дробь, называют многоэтажной. Её вычисляют снизу вверх, начиная с самого нижнего этажа:

Сначала нашли $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$, затем разделили $1$ на эту дробь: $1 : \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{3}$. Разделить число на дробь значит умножить его на обратную дробь. Если записывать каждый этаж отдельно, ошибок со знаками и знаменателями становится намного меньше.