Что такое пропорция

Пропорцией называется равенство двух отношений: $a : b = c : d$ или $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , где $b \neq 0$ , $d \neq 0$ . Числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а $b$ и $c$ — средними членами. Пропорцию читают так: « $a$ относится к $b$ , как $c$ относится к $d$ ».

Например, $6 : 8 = 9 : 12$ является пропорцией, так как оба отношения равны $\dfrac{3}{4}$ . Здесь крайние члены — $6$ и $12$ , а средние — $8$ и $9$ .

Основное свойство пропорции

В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних:

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \implies ad = bc.

Чтобы это увидеть, достаточно умножить обе части равенства на $bd$ . Верно и обратное: если для отличных от нуля чисел $a$ , $b$ , $c$ , $d$ выполняется $ad = bc$ , то верна пропорция $a : b = c : d$ .

Этим свойством удобно проверять пропорцию: $6 \cdot 12 = 72$ и $8 \cdot 9 = 72$ , значит, $6 : 8 = 9 : 12$ верна. А $3 : 5 = 7 : 12$ пропорцией не является, так как $3 \cdot 12 = 36$ , $5 \cdot 7 = 35$ .

Нахождение неизвестного члена

Из основного свойства следуют два правила:

неизвестный крайний член равен произведению средних, делённому на известный крайний: $a = \dfrac{bc}{d}$ ;
неизвестный средний член равен произведению крайних, делённому на известный средний: $b = \dfrac{ad}{c}$ .

Например, если $x : 12 = 5 : 8$ , то $8x = 12 \cdot 5 = 60$ , $x = 7{,}5$ .

Если члены пропорции являются выражениями, уравнение составляют так же, но выражения берут в скобки:

\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{5}{2} \implies 2(x + 2) = 5(x - 1) \implies 2x + 4 = 5x - 5 \implies x = 3.

Проверьте, что найденное значение не обращает знаменатель в нуль: $x - 1 = 2 \neq 0$ .

Производные пропорции и среднее пропорциональное

Если верна пропорция $a : b = c : d$ (все члены отличны от нуля), то верны и следующие пропорции, так как в каждой из них сохраняется равенство $ad = bc$ :

можно поменять местами средние члены: $a : c = b : d$ ;
можно поменять местами крайние члены: $d : b = c : a$ ;
можно перевернуть оба отношения: $b : a = d : c$ .

Прибавив к обеим частям пропорции $1$ или вычтя из обеих частей $1$ , получаем: $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$ , $\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d}$ .

Из пропорции с равными средними членами $a : b = b : d$ следует $b^2 = ad$ . Для положительных $a$ и $d$ число $b = \sqrt{ad}$ называется их средним пропорциональным. Например, среднее пропорциональное чисел 4 и 9 равно $\sqrt{36} = 6$ : $4 : 6 = 6 : 9$ .

Запомните

Пропорция: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ ; $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние.
Основное свойство: $ad = bc$ , то есть произведение крайних членов равно произведению средних.
Неизвестный крайний член: $a = \dfrac{bc}{d}$ ; неизвестный средний член: $b = \dfrac{ad}{c}$ .
Если поменять местами средние члены или крайние члены, пропорция останется верной.
$a : b = b : d \implies b^2 = ad$ ; среднее пропорциональное положительных чисел $a$ и $d$ равно $\sqrt{ad}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите $x$ из пропорции $\dfrac{2{,}4}{x} = \dfrac{0{,}6}{1{,}5}$ .
Решение
Здесь $x$ — средний член. По основному свойству:

$0{,}6 \cdot x = 2{,}4 \cdot 1{,}5 = 3{,}6.$

Отсюда $x = 3{,}6 : 0{,}6 = 6$ .

Проверка: $2{,}4 : 6 = 0{,}4$ и $0{,}6 : 1{,}5 = 0{,}4$ , отношения равны.

Ответ: 6.
Пример 2
Известно, что $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}$ . Найдите значение выражения $\dfrac{2a + b}{a + 3b}$ .
Решение
Из пропорции $a : b = 3 : 5$ , поэтому можно взять $a = 3k$ , $b = 5k$ ( $k \neq 0$ ). Подставим в выражение:

$\dfrac{2 \cdot 3k + 5k}{3k + 3 \cdot 5k} = \dfrac{11k}{18k} = \dfrac{11}{18}.$

$k$ сокращается, значит, ответ не зависит от конкретных значений $a$ и $b$ . Например, при $a = 3$ , $b = 5$ получаем $\dfrac{6 + 5}{3 + 15} = \dfrac{11}{18}$ .

Ответ: $\dfrac{11}{18}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите неизвестный член пропорции $\dfrac{x}{3{,}6} = \dfrac{2{,}5}{4{,}5}$ .
1. $0{,}5$
2. $2{,}5$
3. 2
4. $1{,}8$
5. $4{,}5$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 2
$x$ — крайний член: $4{,}5 \cdot x = 3{,}6 \cdot 2{,}5 = 9$ , $x = 9 : 4{,}5 = 2$ .
Найдите положительное среднее пропорциональное чисел 4 и 25.
1. $14{,}5$
2. 10
3. 21
4. 50
5. 100
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 10
Для среднего пропорционального $b$ имеем $4 : b = b : 25$ , то есть $b^2 = 4 \cdot 25 = 100$ , $b = 10$ . Проверка: $4 : 10 = 0{,}4$ и $10 : 25 = 0{,}4$ .
Решите уравнение $\dfrac{2x - 1}{x + 4} = \dfrac{3}{4}$ .
1. $1{,}6$
2. 3
3. $2{,}4$
4. $3{,}2$
5. 4
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $3{,}2$
По основному свойству $4(2x - 1) = 3(x + 4)$ , $8x - 4 = 3x + 12$ , $5x = 16$ , $x = 3{,}2$ . Знаменатель не равен нулю: $3{,}2 + 4 = 7{,}2$ .

Типичные ошибки

Перемножать не те члены: из $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ писать $ab = cd$ . Верно $ad = bc$ : крайние члены умножаются друг на друга, средние — друг на друга.
Не брать выражения в скобки: из $\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{5}{2}$ писать $2x + 2 = 5x - 1$ . Верно $2(x + 2) = 5(x - 1)$ .
Переворачивать только одно отношение: из $a : b = c : d$ не следует $b : a = c : d$ ; переворачивают либо оба отношения, либо меняют местами средние (крайние) члены.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото