Определение комплексного числа

Число, квадрат которого равен $-1$, называется мнимой единицей и обозначается $i$:

Число $i$ не является действительным. С его помощью можно извлекать квадратный корень из отрицательных чисел. Например, уравнение $x^2 = -9$ имеет два корня: $x = 3i$ и $x = -3i$, так как $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ и $(-3i)^2 = 9i^2 = -9$. В общем случае при $k > 0$ корни уравнения $x^2 = -k$ равны $x = \pm\sqrt{k}\,i$.

Число вида

где $a$ и $b$ — действительные числа, называется комплексным числом. Такая запись называется алгебраической формой комплексного числа.

• Число $a$ — действительная часть $z$: $\operatorname{Re} z = a$.
• Число $b$ — мнимая часть $z$: $\operatorname{Im} z = b$.

Обратите внимание: мнимая часть — это число $b$, а не $bi$. Например, для $z = 4 - 5i$ имеем $\operatorname{Re} z = 4$, $\operatorname{Im} z = -5$. Число $z = 7i$ читаем как $0 + 7i$: $\operatorname{Re} z = 0$, $\operatorname{Im} z = 7$. Множество комплексных чисел обозначается буквой $C$.

Прежде чем называть части, приведите число к виду $a + bi$: замените $i^2$ на $-1$ и сгруппируйте отдельно действительные слагаемые и слагаемые с $i$. Например, $z = 2i - 5 + i^2 = -5 - 1 + 2i = -6 + 2i$, значит $\operatorname{Re} z = -6$, $\operatorname{Im} z = 2$.

• При $b = 0$ число $z = a$ действительное. Значит, каждое действительное число является и комплексным: $R \subset C$.
• При $a = 0$ и $b \neq 0$ число $z = bi$ называется чисто мнимым.
• При $a = 0$ и $b = 0$ получаем $z = 0$.

В задачах с параметром проверяйте оба условия: чтобы число было чисто мнимым, его действительная часть должна равняться нулю, а мнимая — быть отличной от нуля.

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части:

Это правило верно только тогда, когда $a$, $b$, $c$, $d$ действительные, поэтому в задачах всегда оговаривают, что неизвестные действительны. Правило превращает одно равенство в два уравнения с действительными числами: например, из $x + 2i = 5 + yi$ получаем $x = 5$ и $y = 2$. А вот сравнивать комплексные числа знаками «больше» и «меньше» нельзя: запись вида $3 + i > 2$ не имеет смысла.

Каждому комплексному числу $z = a + bi$ соответствует точка $(a;\ b)$ координатной плоскости, и наоборот. Такую плоскость называют комплексной плоскостью: ось абсцисс называют действительной осью, ось ординат — мнимой осью.

Например, числу $3 - 2i$ соответствует точка $(3;\ -2)$, лежащая в IV четверти. Действительные числа изображаются точками действительной оси, а чисто мнимые — точками мнимой оси.