Xəyali vahid

Kvadratı $-1$ -ə bərabər olan ədəd xəyali vahid adlanır və $i$ ilə işarə olunur:

i^2 = -1.

$i$ həqiqi ədəd deyil. Onun köməyi ilə mənfi ədədlərdən kvadrat kök almaq mümkün olur. Məsələn, $x^2 = -9$ tənliyinin iki kökü var: $x = 3i$ və $x = -3i$ , çünki $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ və $(-3i)^2 = 9i^2 = -9$ . Ümumiyyətlə, $k > 0$ olduqda $x^2 = -k$ tənliyinin kökləri $x = \pm\sqrt{k}\,i$ -dir.

Kompleks ədəd və onun hissələri

$a$ və $b$ həqiqi ədədlər olmaqla

z = a + bi

şəklində olan ədədə kompleks ədəd deyilir. Bu yazılış kompleks ədədin cəbri şəklidir.

$a$ ədədi $z$ -in həqiqi hissəsidir: $\operatorname{Re} z = a$ .
$b$ ədədi $z$ -in xəyali hissəsidir: $\operatorname{Im} z = b$ .

Diqqət edin: xəyali hissə $bi$ deyil, $b$ ədədidir. Məsələn, $z = 4 - 5i$ üçün $\operatorname{Re} z = 4$ , $\operatorname{Im} z = -5$ . $z = 7i$ ədədini $0 + 7i$ kimi oxuyuruq: $\operatorname{Re} z = 0$ , $\operatorname{Im} z = 7$ . Kompleks ədədlər çoxluğu $C$ hərfi ilə işarə olunur.

Hissələri tapmazdan əvvəl ədədi $a + bi$ şəklinə gətirin: $i^2$ -ni $-1$ ilə əvəz edin və həqiqi toplananları ayrıca, $i$ olanları ayrıca qruplaşdırın. Məsələn, $z = 2i - 5 + i^2 = -5 - 1 + 2i = -6 + 2i$ , deməli $\operatorname{Re} z = -6$ , $\operatorname{Im} z = 2$ .

Xüsusi hallar

$b = 0$ olduqda $z = a$ həqiqi ədəddir. Deməli, hər bir həqiqi ədəd həm də kompleks ədəddir: $R \subset C$ .
$a = 0$ və $b \neq 0$ olduqda $z = bi$ ədədi xalis xəyali ədəd adlanır.
$a = 0$ və $b = 0$ olduqda $z = 0$ alınır.

Parametrli məsələlərdə hər iki şərti yoxlayın: ədədin xalis xəyali olması üçün həqiqi hissə sıfıra bərabər, xəyali hissə isə sıfırdan fərqli olmalıdır.

İki kompleks ədədin bərabərliyi

İki kompleks ədəd yalnız o zaman bərabərdir ki, onların həqiqi hissələri bərabər, xəyali hissələri də bərabər olsun:

a + bi = c + di \iff a = c,\ b = d.

Bu qayda yalnız $a$ , $b$ , $c$ , $d$ həqiqi ədədlər olduqda doğrudur, ona görə məsələlərdə naməlumların həqiqi olduğu ayrıca deyilir. Qayda bir bərabərlikdən həqiqi ədədlərlə iki tənlik almağa imkan verir: məsələn, $x + 2i = 5 + yi$ olarsa, $x = 5$ və $y = 2$ . Kompleks ədədləri isə “böyükdür” və “kiçikdir” işarələri ilə müqayisə etmək olmaz: $3 + i > 2$ kimi yazılışın mənası yoxdur.

Kompleks ədədin həndəsi təsviri

Hər $z = a + bi$ kompleks ədədinə koordinat müstəvisində $(a;\ b)$ nöqtəsi uyğun gəlir və tərsinə. Belə müstəviyə kompleks müstəvi deyilir: absis oxu həqiqi ox, ordinat oxu isə xəyali ox adlanır.

Məsələn, $3 - 2i$ ədədinə $(3;\ -2)$ nöqtəsi uyğundur və bu nöqtə IV rübdədir. Həqiqi ədədlər həqiqi oxun üzərində, xalis xəyali ədədlər isə xəyali oxun üzərində yerləşir.

Yadda saxla

$i^2 = -1$ ; $i$ xəyali vahiddir.
Cəbri şəkil: $z = a + bi$ , burada $a$ və $b$ həqiqi ədədlərdir; $\operatorname{Re} z = a$ , $\operatorname{Im} z = b$ .
Xəyali hissə $b$ ədədidir, $bi$ deyil.
$b = 0$ olduqda $z$ həqiqi ədəddir; $a = 0$ , $b \neq 0$ olduqda $z$ xalis xəyalidir.
$a + bi = c + di$ bərabərliyi yalnız $a = c$ və $b = d$ olduqda doğrudur.
$k > 0$ üçün $x^2 = -k$ tənliyinin kökləri $\pm\sqrt{k}\,i$ -dir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$x$ və $y$ həqiqi ədədlərdir və $(2x - 1) + (y + 3)i = 5 - 2i$ . $x + y$ cəmini tapın.
Həlli
İki kompleks ədəd bərabərdirsə, onların həqiqi və xəyali hissələri ayrı-ayrılıqda bərabərdir:
- həqiqi hissələr: $2x - 1 = 5$ , buradan $x = 3$ ;
- xəyali hissələr: $y + 3 = -2$ , buradan $y = -5$ .
$x + y = 3 + (-5) = -2$ .

Cavab: $-2$ .
Misal 2
$m$ -in hansı həqiqi qiymətində $z = (m^2 - 4) + (m + 2)i$ ədədi xalis xəyali olar?
Həlli
Xalis xəyali ədəd üçün iki şərt lazımdır: $\operatorname{Re} z = 0$ və $\operatorname{Im} z \neq 0$ .
1. $m^2 - 4 = 0$ , buradan $m = 2$ və ya $m = -2$ .
2. $m + 2 \neq 0$ , yəni $m \neq -2$ .
$m = -2$ olduqda $z = 0 + 0i = 0$ alınır və bu ədəd xalis xəyali deyil. $m = 2$ olduqda $z = 4i$ .

Cavab: $m = 2$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$z = 3 - 7i$ kompleks ədədinin xəyali hissəsini tapın.
1. 3
2. 7
3. $-7i$
4. $-7$
5. $7i$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $-7$
Cəbri şəkildə $z = a + bi$ olduğundan $a = 3$ , $b = -7$ . Xəyali hissə $i$ -siz götürülür: $\operatorname{Im} z = -7$ .
$a$ -nın hansı həqiqi qiymətlərində $z = (a - 5) + (a^2 - 25)i$ ədədi həqiqi ədəddir?
1. yalnız 5
2. yalnız $-5$
3. $-5$ və 5
4. 0
5. belə qiymət yoxdur
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $-5$ və 5
Ədədin həqiqi olması üçün xəyali hissə sıfır olmalıdır: $a^2 - 25 = 0$ , $a = \pm 5$ . Həqiqi hissəyə şərt qoyulmur: $a = 5$ olduqda $z = 0$ , $a = -5$ olduqda $z = -10$ alınır, hər ikisi həqiqi ədəddir.
Kompleks ədədlər çoxluğunda $x^2 + 16 = 0$ tənliyini həll edin.
1. $\pm 4$
2. yalnız $4i$
3. $-4$ və $4i$
4. kökü yoxdur
5. $\pm 4i$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $\pm 4i$
$x^2 = -16$ . $(4i)^2 = 16i^2 = -16$ və $(-4i)^2 = 16i^2 = -16$ , deməli $x = \pm 4i$ . Həqiqi ədədlər çoxluğunda bu tənliyin kökü yoxdur, kompleks ədədlər çoxluğunda isə iki kökü var.

Tipik səhvlər

Xəyali hissəni $i$ ilə birlikdə yazmaq: $3 - 7i$ üçün $\operatorname{Im} z = -7i$ demək (düzgünü $-7$ -dir).
Xalis xəyali ədəd şərtində $\operatorname{Im} z \neq 0$ tələbini unutmaq və $z = 0$ verən qiyməti də cavaba daxil etmək.
$i^2$ -ni $1$ kimi götürmək və ya kompleks ədədləri “böyükdür” və “kiçikdir” işarələri ilə müqayisə etməyə çalışmaq.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et