Tərif

$z = a + bi$ kompleks ədədinin qoşması $\bar{z} = a - bi$ ədədinə deyilir. Həqiqi hissə dəyişmir, xəyali hissə isə əks işarə alır: $\operatorname{Re} \bar{z} = \operatorname{Re} z$ , $\operatorname{Im} \bar{z} = -\operatorname{Im} z$ .

$z = 3 + 4i \implies \bar{z} = 3 - 4i$ ;
$z = -2 - 7i \implies \bar{z} = -2 + 7i$ ;
$z = 5i \implies \bar{z} = -5i$ ;
$z = 6 \implies \bar{z} = 6$ .

$z$ və $\bar{z}$ bir-birinin qoşmasıdır, ona görə onlara qoşma kompleks ədədlər deyilir. Qoşmanı tapmazdan əvvəl ədədi $a + bi$ şəklinə gətirin: $z = i(2 - i) = 2i - i^2 = 1 + 2i$ , deməli $\bar{z} = 1 - 2i$ .

Cəm, fərq və hasil

$z = a + bi$ olduqda:

z + \bar{z} = (a + bi) + (a - bi) = 2a,

z - \bar{z} = 2bi,

z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - b^2 i^2 = a^2 + b^2.

Deməli, qoşma ədədlərin cəmi və hasili həqiqi ədəddir, fərqi isə ( $b \neq 0$ olduqda) xalis xəyali ədəddir. Həmişə $z \cdot \bar{z} \geq 0$ olur, bu hasil yalnız $z = 0$ olduqda sıfıra bərabərdir. $\sqrt{a^2 + b^2}$ ədədi $z$ -in modulu ( $|z|$ ) olduğu üçün $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ və $|\bar{z}| = |z|$ .

Məsələn, $z = 3 - 4i$ üçün $z + \bar{z} = 6$ , $z \cdot \bar{z} = 3^2 + 4^2 = 25$ .

Xassələr və həndəsi mənası

$\overline{\bar{z}} = z$ : qoşmanın qoşması ədədin özüdür.
$\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$ , $\overline{z_1 - z_2} = \bar{z}_1 - \bar{z}_2$ .
$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$ və $z_2 \neq 0$ olduqda qismətin qoşması qoşmaların qismətinə bərabərdir.
$\bar{z} = z$ yalnız $z$ həqiqi ədəd olduqda doğrudur.
$\bar{z} = -z$ yalnız $z$ xalis xəyali ədəd və ya sıfır olduqda doğrudur.

Kompleks müstəvidə $z = a + bi$ ədədinə $(a;\ b)$ nöqtəsi, $\bar{z}$ ədədinə isə $(a;\ -b)$ nöqtəsi uyğundur. Deməli, $z$ və $\bar{z}$ nöqtələri həqiqi oxa nəzərən simmetrikdir.

Qoşmanın tətbiqləri

Bölmə. Məxrəcdə kompleks ədəd olduqda kəsrin surətini və məxrəcini məxrəcin qoşmasına vururuq, məxrəc həqiqi ədədə çevrilir:

\dfrac{5}{1 + 2i} = \dfrac{5(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)} = \dfrac{5(1 - 2i)}{1 + 4} = 1 - 2i.

Kvadrat tənliklər. Həqiqi əmsallı kvadrat tənliyin diskriminantı mənfi olduqda onun kökləri qoşma kompleks ədədlərdir. $x^2 - 4x + 13 = 0$ tənliyində $D = 16 - 52 = -36$ , $x = \dfrac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$ . Köklərin cəmi $4$ , hasili $2^2 + 3^2 = 13$ -dür, bu da Viyet teoreminə uyğundur.

$\bar{z}$ olan tənliklər. $z = a + bi$ , $\bar{z} = a - bi$ yazırıq, sonra iki kompleks ədədin bərabərlik şərtinə görə həqiqi və xəyali hissələri ayrıca bərabərləşdiririk.

Yadda saxla

$z = a + bi \implies \bar{z} = a - bi$ : həqiqi hissə eyni qalır, xəyali hissə işarəsini dəyişir.
$z + \bar{z} = 2a$ , $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$ ; hər ikisi həqiqi ədəddir.
$\overline{\bar{z}} = z$ , $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2$ , $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$ .
$z$ və $\bar{z}$ nöqtələri həqiqi oxa nəzərən simmetrikdir.
Kompleks məxrəcdən qurtulmaq üçün surət və məxrəc məxrəcin qoşmasına vurulur.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$z + 2\bar{z} = 6 - 5i$ tənliyini həll edin.
Həlli
$z = a + bi$ olsun, onda $\bar{z} = a - bi$ və

$z + 2\bar{z} = a + bi + 2(a - bi) = 3a - bi.$

Tənlik $3a - bi = 6 - 5i$ şəklini alır. Həqiqi və xəyali hissələri bərabərləşdirək: $3a = 6$ , $-b = -5$ . Buradan $a = 2$ , $b = 5$ .

Yoxlama: $(2 + 5i) + 2(2 - 5i) = 2 + 5i + 4 - 10i = 6 - 5i$ .

Cavab: $z = 2 + 5i$ .
Misal 2
$\dfrac{3 + i}{1 - i}$ qismətini $a + bi$ şəklində yazın.
Həlli
Məxrəcin qoşması $1 + i$ -dir. Surəti və məxrəci ona vuraq:

$\dfrac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{3 + 3i + i + i^2}{1^2 + 1^2} = \dfrac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$

Yoxlama: $(1 + 2i)(1 - i) = 1 - i + 2i - 2i^2 = 3 + i$ .

Cavab: $1 + 2i$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$z = (2 - i)^2$ ədədinin qoşmasını tapın.
1. $3 - 4i$
2. $5 + 4i$
3. $3 + 4i$
4. $-3 + 4i$
5. $5 - 4i$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $3 + 4i$
Əvvəlcə ədədi $a + bi$ şəklinə gətirək: $(2 - i)^2 = 4 - 4i + i^2 = 4 - 4i - 1 = 3 - 4i$ . Qoşması: $\bar{z} = 3 + 4i$ .
$z = 5 - 12i$ olarsa, $z \cdot \bar{z} + z + \bar{z}$ ifadəsinin qiymətini tapın.
1. 169
2. 179
3. $-109$
4. 13
5. $179 - 24i$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 179
$z \cdot \bar{z} = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ , $z + \bar{z} = 2 \cdot 5 = 10$ . Cəm: $169 + 10 = 179$ .
$2z - \bar{z} = 3 + 6i$ olarsa, $z$ -i tapın.
1. $3 + 6i$
2. $1 + 2i$
3. $3 - 2i$
4. $1 + 6i$
5. $3 + 2i$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $3 + 2i$
$z = a + bi$ olsun: $2(a + bi) - (a - bi) = a + 3bi$ . Onda $a + 3bi = 3 + 6i$ , yəni $a = 3$ , $3b = 6$ , $b = 2$ . Yoxlama: $2(3 + 2i) - (3 - 2i) = 6 + 4i - 3 + 2i = 3 + 6i$ .

Tipik səhvlər

Qoşmada həqiqi hissənin də işarəsini dəyişmək: $3 + 4i$ ədədinin qoşması $3 - 4i$ -dir, $-3 - 4i$ isə onun əks ədədidir ( $-z$ ).
$z \cdot \bar{z} = a^2 - b^2$ yazmaq: $i^2 = -1$ olduğu üçün $-b^2 i^2 = +b^2$ , düzgün nəticə $a^2 + b^2$ -dir.
Bölmədə surəti və məxrəci məxrəcin deyil, surətin qoşmasına vurmaq: bu halda məxrəc həqiqi ədədə çevrilmir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et