Tənasüb nədir

İki nisbətin bərabərliyinə tənasüb deyilir: $a : b = c : d$ və ya $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , burada $b \neq 0$ , $d \neq 0$ . $a$ və $d$ tənasübün kənar hədləri, $b$ və $c$ isə orta hədləri adlanır. Tənasüb belə oxunur: “ $a$ -nın $b$ -yə nisbəti $c$ -nin $d$ -yə nisbətinə bərabərdir”.

Məsələn, $6 : 8 = 9 : 12$ tənasübdür, çünki hər iki nisbət $\dfrac{3}{4}$ -ə bərabərdir. Burada kənar hədlər $6$ və $12$ , orta hədlər isə $8$ və $9$ -dur.

Tənasübün əsas xassəsi

Tənasübdə kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir:

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \implies ad = bc.

Bunu görmək üçün bərabərliyin hər iki tərəfini $bd$ -yə vurmaq kifayətdir. Tərsinə, sıfırdan fərqli $a$ , $b$ , $c$ , $d$ ədədləri üçün $ad = bc$ olarsa, $a : b = c : d$ tənasübü doğrudur.

Bu xassə ilə tənasübü yoxlamaq rahatdır: $6 \cdot 12 = 72$ və $8 \cdot 9 = 72$ , deməli, $6 : 8 = 9 : 12$ doğrudur. $3 : 5 = 7 : 12$ isə tənasüb deyil, çünki $3 \cdot 12 = 36$ , $5 \cdot 7 = 35$ .

Naməlum həddin tapılması

Əsas xassədən iki qayda alınır:

naməlum kənar hədd orta hədlərin hasilini məlum kənar həddə bölməklə tapılır: $a = \dfrac{bc}{d}$ ;
naməlum orta hədd kənar hədlərin hasilini məlum orta həddə bölməklə tapılır: $b = \dfrac{ad}{c}$ .

Məsələn, $x : 12 = 5 : 8$ olduqda $8x = 12 \cdot 5 = 60$ , $x = 7{,}5$ .

Hədlər ifadə olduqda eyni qayda ilə tənlik qurulur, ifadələr isə mötərizəyə alınır:

\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{5}{2} \implies 2(x + 2) = 5(x - 1) \implies 2x + 4 = 5x - 5 \implies x = 3.

Tapılan qiymətin məxrəci sıfıra çevirmədiyini yoxlayın: $x - 1 = 2 \neq 0$ .

Tənasübdən alınan tənasüblər və orta mütənasib

$a : b = c : d$ tənasübü doğrudursa (bütün hədlər sıfırdan fərqlidir), aşağıdakı tənasüblər də doğrudur, çünki onların hamısında $ad = bc$ bərabərliyi saxlanılır:

orta hədlərin yerini dəyişmək olar: $a : c = b : d$ ;
kənar hədlərin yerini dəyişmək olar: $d : b = c : a$ ;
hər iki nisbəti çevirmək olar: $b : a = d : c$ .

Tənasübün hər iki tərəfinə $1$ əlavə etsək və ya hər iki tərəfdən $1$ çıxsaq, belə tənasüblər alınır: $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$ , $\dfrac{a - b}{b} = \dfrac{c - d}{d}$ .

Orta hədləri bərabər olan $a : b = b : d$ tənasübündən $b^2 = ad$ alınır. Müsbət $a$ və $d$ ədədləri üçün $b = \sqrt{ad}$ ədədi onların orta mütənasibi adlanır. Məsələn, 4 və 9-un orta mütənasibi $\sqrt{36} = 6$ -dır: $4 : 6 = 6 : 9$ .

Yadda saxla

Tənasüb: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ ; $a$ və $d$ kənar, $b$ və $c$ orta hədlərdir.
Əsas xassə: $ad = bc$ , yəni kənar hədlərin hasili orta hədlərin hasilinə bərabərdir.
Naməlum kənar hədd: $a = \dfrac{bc}{d}$ ; naməlum orta hədd: $b = \dfrac{ad}{c}$ .
Orta hədlərin və ya kənar hədlərin yerini dəyişdikdə tənasüb pozulmur.
$a : b = b : d \implies b^2 = ad$ ; müsbət $a$ və $d$ ədədlərinin orta mütənasibi $\sqrt{ad}$ -dir.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Tənasübdən $x$ -i tapın: $\dfrac{2{,}4}{x} = \dfrac{0{,}6}{1{,}5}$ .
Həlli
Burada $x$ orta həddir. Əsas xassəyə görə:

$0{,}6 \cdot x = 2{,}4 \cdot 1{,}5 = 3{,}6.$

Buradan $x = 3{,}6 : 0{,}6 = 6$ .

Yoxlama: $2{,}4 : 6 = 0{,}4$ və $0{,}6 : 1{,}5 = 0{,}4$ , nisbətlər bərabərdir.

Cavab: 6.
Misal 2
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{5}$ olarsa, $\dfrac{2a + b}{a + 3b}$ ifadəsinin qiymətini tapın.
Həlli
Tənasübdən $a : b = 3 : 5$ alınır, ona görə $a = 3k$ , $b = 5k$ ( $k \neq 0$ ) götürmək olar. İfadədə yerinə yazaq:

$\dfrac{2 \cdot 3k + 5k}{3k + 3 \cdot 5k} = \dfrac{11k}{18k} = \dfrac{11}{18}.$

$k$ ixtisar olunur, deməli, cavab $a$ və $b$ -nin konkret qiymətlərindən asılı deyil. Məsələn, $a = 3$ , $b = 5$ olduqda $\dfrac{6 + 5}{3 + 15} = \dfrac{11}{18}$ .

Cavab: $\dfrac{11}{18}$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Tənasübün naməlum həddini tapın: $\dfrac{x}{3{,}6} = \dfrac{2{,}5}{4{,}5}$ .
1. $0{,}5$
2. $2{,}5$
3. 2
4. $1{,}8$
5. $4{,}5$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 2
$x$ kənar həddir: $4{,}5 \cdot x = 3{,}6 \cdot 2{,}5 = 9$ , $x = 9 : 4{,}5 = 2$ .
4 və 25 ədədlərinin müsbət orta mütənasibini tapın.
1. $14{,}5$
2. 10
3. 21
4. 50
5. 100
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B 10
Orta mütənasib $b$ üçün $4 : b = b : 25$ , yəni $b^2 = 4 \cdot 25 = 100$ , $b = 10$ . Yoxlama: $4 : 10 = 0{,}4$ və $10 : 25 = 0{,}4$ .
Tənliyi həll edin: $\dfrac{2x - 1}{x + 4} = \dfrac{3}{4}$ .
1. $1{,}6$
2. 3
3. $2{,}4$
4. $3{,}2$
5. 4
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $3{,}2$
Əsas xassəyə görə $4(2x - 1) = 3(x + 4)$ , $8x - 4 = 3x + 12$ , $5x = 16$ , $x = 3{,}2$ . Məxrəc sıfır deyil: $3{,}2 + 4 = 7{,}2$ .

Tipik səhvlər

Hədləri səhv vurmaq: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ tənasübündən $ab = cd$ yazmaq. Düzgünü $ad = bc$ -dir: kənar hədlər bir-birinə, orta hədlər bir-birinə vurulur.
İfadələri mötərizəyə almamaq: $\dfrac{x + 2}{x - 1} = \dfrac{5}{2}$ tənasübündən $2x + 2 = 5x - 1$ yazmaq. Düzgünü $2(x + 2) = 5(x - 1)$ -dir.
Yalnız bir nisbəti çevirmək: $a : b = c : d$ tənasübündən $b : a = c : d$ alınmır; ya hər iki nisbət çevrilir, ya da orta (kənar) hədlərin yeri dəyişdirilir.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et