Сопряжённые комплексные числа

Сопряжённым к комплексному числу $z = a + bi$ называется число $\bar{z} = a - bi$. Действительная часть не меняется, а мнимая меняет знак: $\operatorname{Re} \bar{z} = \operatorname{Re} z$, $\operatorname{Im} \bar{z} = -\operatorname{Im} z$.

• $z = 3 + 4i \implies \bar{z} = 3 - 4i$;
• $z = -2 - 7i \implies \bar{z} = -2 + 7i$;
• $z = 5i \implies \bar{z} = -5i$;
• $z = 6 \implies \bar{z} = 6$.

Числа $z$ и $\bar{z}$ взаимно сопряжены, поэтому их называют сопряжёнными комплексными числами. Прежде чем искать сопряжённое, приведите число к виду $a + bi$: $z = i(2 - i) = 2i - i^2 = 1 + 2i$, значит, $\bar{z} = 1 - 2i$.

Если $z = a + bi$, то:

Значит, сумма и произведение сопряжённых чисел действительны, а разность (при $b \neq 0$) является чисто мнимым числом. Всегда $z \cdot \bar{z} \geq 0$, и это произведение равно нулю только при $z = 0$. Так как $\sqrt{a^2 + b^2}$ является модулем $|z|$, то $z \cdot \bar{z} = |z|^2$ и $|\bar{z}| = |z|$.

Например, для $z = 3 - 4i$ получаем $z + \bar{z} = 6$, $z \cdot \bar{z} = 3^2 + 4^2 = 25$.

• $\overline{\bar{z}} = z$: число, сопряжённое к сопряжённому, равно самому числу.
• $\overline{z_1 + z_2} = \bar{z}_1 + \bar{z}_2$, $\overline{z_1 - z_2} = \bar{z}_1 - \bar{z}_2$.
• $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z}_1 \cdot \bar{z}_2$, и при $z_2 \neq 0$ сопряжённое к частному равно частному сопряжённых.
• $\bar{z} = z$ только тогда, когда $z$ — действительное число.
• $\bar{z} = -z$ только тогда, когда $z$ — чисто мнимое число или нуль.

На комплексной плоскости числу $z = a + bi$ соответствует точка $(a;\ b)$, а числу $\bar{z}$ — точка $(a;\ -b)$. Значит, точки $z$ и $\bar{z}$ симметричны относительно действительной оси.

Деление. Если в знаменателе стоит комплексное число, числитель и знаменатель умножают на число, сопряжённое знаменателю, и знаменатель становится действительным:

Квадратные уравнения. Если у квадратного уравнения с действительными коэффициентами дискриминант отрицателен, его корни являются сопряжёнными комплексными числами. Для $x^2 - 4x + 13 = 0$ имеем $D = 16 - 52 = -36$, $x = \dfrac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i$. Сумма корней равна $4$, а произведение равно $2^2 + 3^2 = 13$, что согласуется с теоремой Виета.

Уравнения с $\bar{z}$. Записываем $z = a + bi$, $\bar{z} = a - bi$ и по условию равенства комплексных чисел отдельно приравниваем действительные и мнимые части.