Отношение чисел и его основное свойство

Частное от деления числа $a$ на число $b$ ($b \neq 0$) называется отношением числа $a$ к числу $b$. Отношение записывают как $a : b$ или $\dfrac{a}{b}$, а числа $a$ и $b$ называют членами отношения.

Например, если в классе 12 мальчиков и 18 девочек, то отношение числа мальчиков к числу девочек равно $12 : 18$. Его можно упростить до $2 : 3$: на каждых 2 мальчиков приходится 3 девочки. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно уже $3 : 2$, то есть порядок членов важен.

Если $\dfrac{a}{b} > 1$, отношение показывает, во сколько раз $a$ больше $b$; если $\dfrac{a}{b} < 1$, оно показывает, какую часть числа $b$ составляет $a$.

Отношение однородных величин — отвлечённое число, единицы измерения в ответе не пишут: отношение 6 кг к 2 кг равно 3. Поскольку отношение — это число, его можно записать десятичной дробью или в процентах: $3 : 4 = 0{,}75 = 75\%$, то есть первое число составляет 75 процентов второго.

Если оба члена отношения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, отношение не изменится:

С помощью этого свойства отношение приводят к отношению наименьших натуральных чисел:

• целые числа: $45 : 60 = 3 : 4$ (разделили оба члена на 15);
• десятичные дроби: $0{,}6 : 1{,}5 = 6 : 15 = 2 : 5$ (сначала умножили на 10);
• обыкновенные дроби: $\dfrac{2}{3} : \dfrac{5}{6} = 4 : 5$ (умножили оба члена на общий знаменатель 6).

Прежде чем находить отношение величин, их нужно выразить в одних и тех же единицах. Например, отношение 50 см к 2 м равно $50 : 200 = 1 : 4$, так как 2 м = 200 см.

Чтобы разделить число $S$ в отношении $a : b$, его делят на $a + b$ равных частей. Одна часть равна $\dfrac{S}{a + b}$, а искомые числа содержат $a$ и $b$ таких частей. Деление числа на три части в отношении $a : b : c$ выполняется так же: число делят на $a + b + c$ равных частей.

Два отношения с общим членом можно объединить. Пусть $a : b = 2 : 3$ и $b : c = 4 : 5$. Уравняем числа, соответствующие $b$ (3 и 4): первое отношение умножим на 4, второе на 3: $a : b = 8 : 12$, $b : c = 12 : 15$. Значит, $a : b : c = 8 : 12 : 15$.

В задачах с отношениями удобно обозначить одну часть через $k$: если $a : b = 3 : 4$, то $a = 3k$, $b = 4k$.

Так же легко перейти от отношения к дроби. Если $a : b = 3 : 5$, то $a = \dfrac{3}{5}b$, то есть $a$ составляет $\dfrac{3}{5}$ числа $b$. А от суммы $a + b$ число $a$ составляет $\dfrac{3}{3 + 5} = \dfrac{3}{8}$. Внимательно читайте вопрос: «какую часть от $b$» и «какую часть от суммы» — разные вопросы.