Понятие дроби. Числитель и знаменатель

Если целое разделить на $b$ равных частей и взять $a$ таких частей, получится дробь $\frac{a}{b}$ . Число $b$ под чертой называется знаменателем (показывает, на сколько частей разделили целое), а $a$ над чертой — числителем (показывает, сколько частей взяли). Черта дроби также означает деление: $a : b = \frac{a}{b}$ .

Правильные и неправильные дроби

Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной (например, $\frac{3}{5}$ , $\frac{7}{10}$ ). Правильная дробь всегда меньше 1. Дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему, называется неправильной (например, $\frac{5}{5}$ , $\frac{8}{3}$ ). Неправильная дробь всегда больше или равна 1.

Смешанные числа

Числа, состоящие из целой и дробной части, называются смешанными числами (например, $3\frac{1}{4}$ ). Чтобы превратить неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком: частное будет целой частью, а остаток — числителем. Например, для $\frac{17}{5}$ при делении 17 на 5 получаем 3 (остаток 2), то есть $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$ .

Запомните

В дроби $\frac{a}{b}$ число $a$ — числитель, $b$ — знаменатель, черта дроби означает деление.
Если $a < b$ , дробь правильная; если $a \ge b$ , дробь неправильная.
Любое натуральное число можно записать в виде дроби со знаменателем 1: $n = \frac{n}{1}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
При каких натуральных значениях $x$ дробь $\frac{x-3}{7}$ является правильной, а $\frac{8}{x}$ — неправильной?
Решение
1. Дробь $\frac{x-3}{7}$ правильная: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ , и $x - 3 < 7 \Rightarrow x < 10$ . Следовательно, $x \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ .
2. Дробь $\frac{8}{x}$ неправильная: $x > 0$ и $8 \ge x \Rightarrow x \le 8$ . Следовательно, $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ .
Общие значения для обоих условий: 4, 5, 6, 7, 8. Всего их 5.

Ответ: 5.
Пример 2
Преобразуйте смешанное число $5\frac{3}{7}$ в неправильную дробь.
Решение
Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель. Полученное число записываем в числитель, а знаменатель оставляем без изменений:

$\frac{5 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{35 + 3}{7} = \frac{38}{7}$ .

Ответ: $\frac{38}{7}$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

При скольких натуральных значениях $a$ дробь $\frac{a}{6}$ является правильной?
1. 4
2. 5
3. 6
4. 7
5. Бесконечно много
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 5
В правильной дроби числитель меньше знаменателя. То есть $a < 6$ . Натуральные значения: 1, 2, 3, 4, 5. Всего 5 значений.
Какая из следующих дробей является неправильной?
1. $\frac{3}{4}$
2. $\frac{7}{8}$
3. $\frac{1}{2}$
4. $\frac{5}{5}$
5. $\frac{99}{100}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $\frac{5}{5}$
Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю. В дроби $\frac{5}{5}$ числитель равен знаменателю.
Преобразуйте неправильную дробь $\frac{43}{8}$ в смешанное число.
1. $5\frac{3}{8}$
2. $4\frac{3}{8}$
3. $5\frac{1}{8}$
4. $4\frac{5}{8}$
5. $6\frac{3}{8}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $5\frac{3}{8}$
Делим 43 на 8: частное 5, остаток 3. Частное идёт в целую часть, а остаток — в числитель, то есть $5\frac{3}{8}$ .

Типичные ошибки

Считать дробь, у которой числитель равен знаменателю (например, $\frac{5}{5}$ ), правильной (на самом деле она неправильная).
При переводе смешанного числа в неправильную дробь умножать целую часть на числитель вместо знаменателя.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото