Определение и свойства

Два натуральных числа, общим делителем которых является только $1$ , называются взаимно простыми числами. Например, $8$ и $15$ являются составными числами, но у них нет общих делителей, кроме $1$ . Поэтому $8$ и $15$ — взаимно простые.

Основные свойства взаимно простых чисел:

Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые ( $14$ и $15$ ).
Два последовательных нечетных числа всегда взаимно простые ( $21$ и $23$ ).
Любое натуральное число и $1$ взаимно простые.
Два разных простых числа всегда взаимно простые ( $7$ и $11$ ).

Количество чисел, меньших данного и взаимно простых с ним

Если натуральное число $N$ разложено на простые множители в виде $N = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ , то количество натуральных чисел, меньших $N$ и взаимно простых с ним (обозначим через $E$ ), вычисляется по формуле:

$E = N \cdot \left(1 - \frac{1}{a}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{b}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{c}\right)$

Например, найдем количество чисел, меньших $60$ и взаимно простых с $60$ : $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ . По формуле: $E = 60 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 60 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 16$ .

Запомните

Наибольший общий делитель (НОД) взаимно простых чисел равен $1$ .
Наименьшее общее кратное (НОК) взаимно простых чисел равно их произведению.
Последовательные натуральные числа и последовательные нечетные числа всегда взаимно простые.

Разобранные примеры

Пример 1
Сколько существует натуральных чисел, меньших $36$ и взаимно простых с $36$ ?
Решение
Сначала разложим $36$ на простые множители: $36 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2$ . Простые основания — $2$ и $3$ . Теперь применим формулу: $E = 36 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right)$ $E = 36 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = 36 \cdot \frac{2}{6} = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12$ . Ответ: 12
Пример 2
Какие из следующих пар чисел являются взаимно простыми? I. $15$ и $22$ II. $14$ и $21$ III. $25$ и $27$
Решение
Проверим общие делители каждой пары: I. $15 = 3 \cdot 5$ , $22 = 2 \cdot 11$ . Общих делителей нет (только 1). Взаимно простые. II. $14 = 2 \cdot 7$ , $21 = 3 \cdot 7$ . Общий делитель $7$ . Не взаимно простые. III. $25 = 5^2$ , $27 = 3^3$ . Общих делителей нет (только 1). Взаимно простые. Итак, I и III — взаимно простые. Ответ: I и III

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите количество натуральных чисел, меньших $120$ и взаимно простых с $120$ .
1. 24
2. 32
3. 40
4. 16
5. 30
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 32
$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ . По формуле: $120 \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) = 120 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = 120 \cdot \frac{8}{30} = 4 \cdot 8 = 32$ .
Какое из следующих утверждений всегда верно?
1. Два четных числа могут быть взаимно простыми.
2. Два последовательных четных числа взаимно простые.
3. Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые.
4. Два составных числа не могут быть взаимно простыми.
5. Одно простое и одно составное число всегда взаимно простые.
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C Два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые.
Два последовательных натуральных числа (например, $n$ и $n+1$ ) всегда взаимно простые. Четные числа всегда делятся на 2, поэтому они не могут быть взаимно простыми. Два составных числа (например, 8 и 9) могут быть взаимно простыми. Простое и составное число не всегда взаимно простые (например, 3 и 9).
Числа $P$ и $Q$ взаимно простые. Чему равно их наименьшее общее кратное (НОК)?
1. $1$
2. $P + Q$
3. $P \cdot Q$
4. $|P - Q|$
5. $\frac{P}{Q}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $P \cdot Q$
Так как у взаимно простых чисел нет общих множителей, их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел: НОК(P, Q) = P \cdot Q.

Типичные ошибки

Путать понятие "взаимно простые числа" с "простые числа". Составные числа тоже могут быть взаимно простыми (например, 8 и 9).
Попытка использовать степени в формуле количества чисел. Например, писать в скобках $1 - \frac{1}{a^x}$ вместо правильного $1 - \frac{1}{a}$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото