Простые числа

Натуральные числа, которые делятся только на 1 и на само себя (то есть имеют ровно два делителя), называются простыми числами. Наименьшее простое число — 2. Все остальные простые числа нечётные, так как любые другие чётные числа делятся на 2 и являются составными. Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и т.д. Простых чисел бесконечно много.

Составные числа

Натуральные числа, имеющие более двух делителей (то есть делящиеся на 1, на себя и на другие натуральные числа), называются составными числами. Наименьшее составное число — 4 (его делители: 1, 2, 4). Другие примеры: 6 (1, 2, 3, 6), 8, 9, 10, 12, 14, 15 и т.д.

Любое составное число можно представить как произведение простых чисел (например, $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ).

Число 1 не является ни простым, ни составным

У числа 1 только один делитель (оно делится только на 1). По определению, у простых чисел должно быть ровно два делителя, а у составных — больше двух. Поэтому единица — ни простое, ни составное число. Оно представляет собой особый случай.

Запомните

У простых чисел ровно 2 делителя: 1 и само число. Наименьшее простое число — 2.
Единственное чётное простое число — 2. Все остальные чётные натуральные числа составные.
У составных чисел более 2 делителей. Наименьшее составное число — 4.
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Разобранные примеры

Пример 1
Сколько простых чисел больше 10, но меньше 30?
Решение
1. Рассмотрим натуральные числа от 11 до 29. Чётные числа можно сразу исключить, так как 2 — единственное чётное простое число.
2. Проверим нечётные числа: 11 (простое), 13 (простое), 15 (делится на 3 — составное), 17 (простое), 19 (простое), 21 (делится на 3 — составное), 23 (простое), 25 (делится на 5 — составное), 27 (делится на 3 — составное), 29 (простое).
3. Список простых чисел: 11, 13, 17, 19, 23, 29.
4. Считаем их количество: 6 чисел.
Ответ: 6.
Пример 2
Сумма двух простых чисел равна 15. Найдите произведение этих чисел.
Решение
1. Сумма двух простых чисел — нечётное число (15). Так как сумма двух нечётных чисел всегда чётна, одно из наших чисел должно быть чётным, а другое — нечётным.
2. Единственное чётное простое число — это 2. Значит, одно из слагаемых равно 2.
3. Найдём второе простое число: $15 - 2 = 13$ . Число 13 действительно является простым.
4. Следовательно, эти простые числа — 2 и 13. Их произведение: $2 \cdot 13 = 26$ .
Ответ: 26.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из следующих чисел является простым?
1. 21
2. 39
3. 47
4. 51
5. 91
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 47
21 (делится на 3), 39 (делится на 3), 51 (делится на 3, $5+1=6$ ), 91 (делится на 7, $7 \cdot 13 = 91$ ). Только число 47 не делится ни на какие натуральные числа, кроме 1 и 47.
Сколько составных чисел среди чисел: 1, 2, 9, 15, 23, 27, 31, 33?
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 4
Проверим числа: 1 (ни простое, ни составное), 2 (простое), 9 (составное, делится на 3), 15 (составное, делится на 3), 23 (простое), 27 (составное, делится на 3), 31 (простое), 33 (составное, делится на 3). Составные числа: 9, 15, 27, 33. Их количество — 4.
Какое из следующих чисел может быть произведением двух различных простых чисел?
1. 9
2. 15
3. 16
4. 17
5. 23
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 15
В варианте A $9 = 3 \cdot 3$ (простые числа одинаковые). В варианте C $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ (много множителей). Варианты D и E — сами по себе простые числа, их можно представить только как произведение 1 и самого себя (а 1 не простое число). В варианте B $15 = 3 \cdot 5$ . 3 и 5 — это два различных простых числа.

Типичные ошибки

Считать, что 1 является простым числом. Единица не относится ни к простым, ни к составным числам.
Полагать, что число 2 — составное, поскольку оно чётное. 2 — это единственное чётное простое число.
Думать, что все нечётные числа являются простыми (например, 9, 15, 21, 27 и особенно 91 — это составные числа).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото