Делимость по последней цифре (2, 5, 10)

На 2: Все натуральные числа, оканчивающиеся чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8), делятся на 2 без остатка. (Например: 34, 156, 1000).
На 5: Натуральные числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5. (Например: 45, 130).
На 10: Натуральные числа, оканчивающиеся на 0, делятся на 10. (Например: 70, 250).

Примечание: Остаток от деления числа на 2, 5 или 10 равен остатку от деления его последней цифры на это же число. Например, при делении 47 на 5 остаток равен 2.

Делимость по сумме цифр (3, 9)

На 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Например, в числе 456 сумма цифр равна $4 + 5 + 6 = 15$ . Так как 15 делится на 3, то и 456 делится на 3.
На 9: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Например, в числе 819 сумма цифр $8 + 1 + 9 = 18$ . Так как 18 делится на 9, то и 819 делится на 9.

Делимость по последним цифрам и комбинированные признаки (4, 8, 6)

На 4: Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4 (или если две последние цифры — 00). Например: 516 (16 делится), 700.
На 8: Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8 (или если три последние цифры — 000).
На 6: Число делится на 6, если оно одновременно делится и на 2, и на 3 (то есть оно должно быть чётным и сумма его цифр должна делиться на 3).

Запомните

Делимость на 2, 5 и 10 зависит только от последней цифры.
Делимость на 3 и 9 зависит от суммы всех цифр числа.
Делимость на 4 и 8 зависит от последних двух и трёх цифр соответственно.
Чтобы число делилось на составное (например, на 6), оно должно делиться на его взаимно простые множители (на 2 и на 3).

Разобранные примеры

Пример 1
Четырёхзначное число $72a4$ делится на 3. Найдите сумму всех возможных значений цифры $a$ .
Решение
1. По признаку делимости на 3 сумма цифр должна делиться на 3.
2. Сумма цифр: $7 + 2 + a + 4 = 13 + a$ .
3. Чтобы сумма $13 + a$ делилась на 3, она должна быть равна 15, 18, 21.
4. Так как $a$ — это цифра ( $0 \le a \le 9$ ): $13 + a = 15 \implies a = 2$ $13 + a = 18 \implies a = 5$ $13 + a = 21 \implies a = 8$
5. Возможные значения $a$ : 2, 5, 8. Их сумма: $2 + 5 + 8 = 15$ .
Ответ: 15.
Пример 2
Четырёхзначное число $5x3y$ является нечётным и делится без остатка и на 5, и на 9. Найдите сумму $x + y$ .
Решение
1. Если число делится на 5, его последняя цифра ( $y$ ) равна 0 или 5.
2. По условию число нечётное, значит $y \neq 0$ . Следовательно, $y = 5$ . Число имеет вид $5x35$ .
3. Число также делится на 9. Сумма его цифр: $5 + x + 3 + 5 = 13 + x$ .
4. Сумма $13 + x$ должна делиться на 9. Ближайшее число, большее 13 и делящееся на 9 — это 18.
5. $13 + x = 18 \implies x = 5$ .
6. Требуется найти $x + y$ : $5 + 5 = 10$ .
Ответ: 10.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое из следующих чисел делится без остатка и на 2, и на 3?
1. 145
2. 236
3. 516
4. 811
5. 904
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 516
Ищем число, которое делится и на 2, и на 3 (то есть делится на 6). Оно должно быть чётным (отбрасываем 145 и 811). Проверим сумму цифр оставшихся чётных чисел. 236: $2+3+6=11$ (не делится на 3). 904: $9+0+4=13$ (не делится). 516: $5+1+6=12$ (делится на 3).
При каких значениях цифры $x$ число $83x2$ делится на 4?
1. Только 1 и 5
2. Только 3 и 7
3. 1, 3, 5, 7, 9
4. 0, 2, 4, 6, 8
5. Только 2 и 4
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 1, 3, 5, 7, 9
По признаку делимости на 4, число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на 4. То есть число $\overline{x2}$ должно делиться на 4. Это могут быть числа 12, 32, 52, 72, 92. Следовательно, $x$ может быть 1, 3, 5, 7, 9.
При каком наименьшем натуральном значении $a$ при делении числа $4a7$ на 9 в остатке получается 3?
1. 0
2. 1
3. 2
4. 7
5. 9
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 1
Остаток от деления на 9 равен остатку от деления суммы цифр на 9. Сумма цифр: $4 + a + 7 = 11 + a$ . Чтобы при делении этой суммы на 9 был остаток 3, сама сумма должна равняться 12, 21 и т.д. Решаем: $11 + a = 12 \implies a = 1$ . Следующее значение $11 + a = 21 \implies a = 10$ (но $a$ — однозначная цифра). Наименьшее значение — 1 (если $a=0$ , то сумма 11, остаток 2). Так как спрашивают наименьшее натуральное, ответ 1.

Типичные ошибки

Считать, что все нечётные числа делятся на 3, а все чётные — на 4. Нужно строго применять признаки делимости.
Проверять делимость на 4, находя сумму цифр числа. Признак делимости на 4 зависит только от двух последних цифр.
Для проверки делимости на составное число разбивать его на любые множители (например, для 12 проверять 2 и 6). Нужно брать взаимно простые множители (3 и 4).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото