Деление нацело

Деление — это действие, обратное умножению. Из равенства $a \cdot b = c$ следует $c : a = b$ (при $a \neq 0$ ). Здесь $c$ — делимое, $a$ — делитель, $b$ — частное. Если одно число делится на другое без остатка, это называется делением нацело. При делении нуля на любое натуральное число получается нуль ( $0 : a = 0$ ). На нуль делить нельзя!

Деление с остатком

При делении натуральных чисел деление нацело возможно не всегда. При делении числа $a$ на $b$ с остатком получается $a : b = c \text{ (ост. } r)$ . Здесь $a$ — делимое, $b$ — делитель, $c$ — неполное частное, $r$ — остаток. Основная формула деления с остатком: $a = b \cdot c + r$ .

Важное правило: остаток всегда должен быть меньше делителя ( $0 \le r < b$ ). Если $r = 0$ , то это деление нацело.

Запомните

Чтобы найти делимое: $a = b \cdot c + r$ .
Остаток всегда строго меньше делителя: $r < b$ . Наибольший возможный остаток на 1 меньше делителя ( $b - 1$ ).
На нуль делить нельзя!

Разобранные примеры

Пример 1
Делимое равно 83, делитель равен 9, а остаток равен 2. Найдите неполное частное.
Решение
1. Запишем формулу деления с остатком: $a = b \cdot c + r$ .
2. Подставим известные значения: $83 = 9 \cdot c + 2$ .
3. Решим уравнение: $9 \cdot c = 83 - 2$ .
4. $9 \cdot c = 81$ .
5. $c = 81 : 9 = 9$ .
Ответ: Неполное частное равно 9.
Пример 2
Найдите сумму всех возможных остатков при делении некоторого числа на 15.
Решение
1. По правилу остаток должен быть меньше делителя: $r < 15$ .
2. Возможные остатки — это натуральные числа от 1 до 14 (0 означает деление без остатка).
3. Сумму чисел от 1 до 14 можно найти по формуле арифметической прогрессии: $\frac{1+14}{2} \cdot 14 = 15 \cdot 7 = 105$ .
Ответ: Сумма возможных остатков равна 105.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Каков наибольший возможный остаток при делении числа на 12?
1. 10
2. 11
3. 12
4. 13
5. 9
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 11
По правилу остаток должен быть меньше делителя ( $r < 12$ ). Значит, наибольший возможный остаток равен $12 - 1 = 11$ .
Найдите сумму неполного частного и остатка при делении 45 на 7.
1. 7
2. 8
3. 9
4. 10
5. 11
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 9
В числе 45 число 7 помещается 6 раз ( $7 \cdot 6 = 42$ ). Остаток равен $45 - 42 = 3$ . Следовательно, неполное частное — 6, остаток — 3. Их сумма: $6 + 3 = 9$ .
При делении числа $a$ на 8 получается неполное частное $c$ и остаток 5. Какое выражение для нахождения $a$ верно?
1. $a = 8c + 5$
2. $a = 5c + 8$
3. $a = 8(c + 5)$
4. $a = 8c - 5$
5. $a = c + 13$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $a = 8c + 5$
По формуле деления с остатком делимое равно произведению делителя на неполное частное плюс остаток. То есть $a = 8 \cdot c + 5$ .

Типичные ошибки

Считать, что остаток может быть больше или равен делителю. Остаток всегда строго меньше делителя.
Забывать прибавлять остаток к произведению делителя и неполного частного (ошибочно отнимать его).
Путать делитель и неполное частное при составлении формулы.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото