Делитель числа

Если натуральное число $a$ делится на натуральное число $b$ без остатка, то число $b$ называется делителем числа $a$ . Например, число 12 делится без остатка на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Следовательно, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наименьший делитель любого натурального числа — 1, а наибольший делитель — само это число. Количество делителей заданного числа всегда ограничено (их конечное число).

Кратное числа

Натуральное число, которое делится без остатка на заданное натуральное число $a$ , называется кратным (или делимым) числу $a$ . Например, числа, которые делятся без остатка на 5: 5, 10, 15, 20, 25 и так далее. Это и есть кратные числа 5. Наименьшее кратное любого натурального числа — само это число. Количество кратных числа бесконечно. Чтобы их найти, достаточно последовательно умножать число на 1, 2, 3, 4 и так далее.

Разница между делителем и кратным

Делитель — это число, которое полностью помещается в заданном числе (оно делит число). Кратное — это более крупное число, в котором заданное число помещается без остатка (оно делится на число). Например, для числа 8:

Делители: 1, 2, 4, 8 (их 4, они меньше или равны числу).
Кратные: 8, 16, 24, 32, 40... (их бесконечно много, они больше или равны числу).

Запомните

Наименьший делитель любого натурального числа — 1, а наибольший — само это число.
Делители числа конечны.
Наименьшее кратное любого натурального числа — само это число. Наибольшего кратного не существует.
Кратных у числа бесконечно много, так как заданное число можно бесконечно умножать на натуральные числа, получая новые кратные.

Разобранные примеры

Пример 1
Запишите все делители числа 18 и найдите их сумму.
Решение
1. Будем последовательно искать натуральные числа, на которые 18 делится без остатка.
2. $18 : 1 = 18$
3. $18 : 2 = 9$
4. $18 : 3 = 6$
5. $18 : 4$ и $18 : 5$ дают остаток, не подходят.
6. Таким образом, мы нашли делители парами: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
7. Теперь сложим эти числа: $1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39$ .
Ответ: Делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Сумма: 39.
Пример 2
Найдите числа, кратные 7, которые больше 20, но меньше 50.
Решение
1. Запишем кратные числа 7 (умножая 7 на 1, 2, 3...): $7 \cdot 1 = 7$ , $7 \cdot 2 = 14$ , $7 \cdot 3 = 21$ , $7 \cdot 4 = 28$ , $7 \cdot 5 = 35$ , $7 \cdot 6 = 42$ , $7 \cdot 7 = 49$ , $7 \cdot 8 = 56$ .
2. Выбираем числа, удовлетворяющие условию интервала $20 < x < 50$ .
3. В этот интервал входят 21, 28, 35, 42 и 49.
Ответ: 21, 28, 35, 42, 49.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое число является кратным как для 4, так и для 6?
1. 16
2. 18
3. 24
4. 8
5. 10
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 24
Кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28... Кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30... Среди вариантов только 24 делится без остатка и на 4, и на 6.
Сколько натуральных делителей имеет число 24?
1. 6
2. 7
3. 8
4. 9
5. 10
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 8
Делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24. Пересчитав их, мы видим, что их 8 штук.
Какое из следующих утверждений неверно?
1. Наименьший делитель любого натурального числа равен 1.
2. Наибольший делитель любого натурального числа равен самому этому числу.
3. Количество делителей натурального числа бесконечно.
4. Наименьшее кратное натурального числа равно самому этому числу.
5. Количество кратных натурального числа бесконечно.
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C Количество делителей натурального числа бесконечно.
Количество делителей натурального числа ограничено (оно конечно), бесконечно количество его кратных. Поэтому утверждение "Количество делителей натурального числа бесконечно" является неверным.

Типичные ошибки

Путать понятия делитель и кратное. Вместо записи делителей числа писать его кратные (умножая его).
Забывать включать 1 и само число в список делителей при их поиске.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото