Переместительное свойство

От перестановки слагаемых или множителей сумма или произведение не меняется.

Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$ . Например, $15 + 24 = 24 + 15 = 39$ .
Переместительное свойство умножения: $a \cdot b = b \cdot a$ . Например, $8 \cdot 7 = 7 \cdot 8 = 56$ .

Сочетательное свойство

При сложении (или умножении) трех и более чисел их можно группировать в любой последовательности. Это свойство позволяет сделать процесс вычисления более удобным.

Сочетательное свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$ . Например, $(25 + 17) + 75 = (25 + 75) + 17 = 100 + 17 = 117$ .
Сочетательное свойство умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ . Например, $(4 \cdot 13) \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 13 = 100 \cdot 13 = 1300$ .

Распределительное свойство (умножения относительно сложения и вычитания)

Чтобы умножить число на сумму или разность, можно умножить это число на каждое слагаемое (или на уменьшаемое и вычитаемое) и полученные произведения сложить (или вычесть).

Относительно суммы: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ . Например, $5 \cdot (10 + 3) = 5 \cdot 10 + 5 \cdot 3 = 50 + 15 = 65$ .
Относительно разности: $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ . Например, $7 \cdot (20 - 2) = 7 \cdot 20 - 7 \cdot 2 = 140 - 14 = 126$ . Это свойство применяется при раскрытии скобок и вынесении общего множителя за скобки: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$ .

Запомните

$a + b = b + a$ и $a \cdot b = b \cdot a$ (переместительное).
$(a + b) + c = a + (b + c)$ и $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ (сочетательное).
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ и $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$ (распределительное).
Для упрощения вычислений используйте эти свойства, чтобы выбрать наиболее удобную группировку.

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите, вынеся общий множитель за скобки: $34 \cdot 73 + 34 \cdot 27$
Решение
Используем распределительное свойство в обратном порядке — вынесем общий множитель за скобки. Общий множитель равен 34.
1. Общий множитель в выражении: $34$ .
2. На основе свойства запишем: $34 \cdot (73 + 27)$ .
3. Вычислим значение в скобках: $73 + 27 = 100$ .
4. Выполним умножение: $34 \cdot 100 = 3400$ .
Ответ: 3400.
Пример 2
Вычислите удобным способом: $4 \cdot 19 \cdot 25$
Решение
Применим переместительное и сочетательное свойства умножения для упрощения вычисления. Умножение 4 на 25 дает 100.
1. Поменяем множители местами и сгруппируем: $(4 \cdot 25) \cdot 19$ .
2. Найдем произведение в скобках: $4 \cdot 25 = 100$ .
3. Умножим полученный результат на другой множитель: $100 \cdot 19 = 1900$ .
Ответ: 1900.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое выражение отражает распределительное свойство умножения?
1. $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
2. $a + b = b + a$
3. $a \cdot b = b \cdot a$
4. $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
5. $(a + b) + c = a + (b + c)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Выражение $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ является распределительным свойством умножения относительно сложения. A — сочетательное, B — переместительное (сложение), C — переместительное (умножение), E — сочетательное (сложение) свойства.
Вычислите значение выражения: $72 \cdot 15 + 72 \cdot 85$
1. 7200
2. 720
3. 1000
4. 1500
5. 8500
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 7200
Используя распределительное свойство, выносим 72 за скобки: $72 \cdot (15 + 85) = 72 \cdot 100 = 7200$ .
Найдите произведение $50 \cdot 37 \cdot 2$ .
1. 370
2. 7400
3. 3700
4. 740
5. 1000
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 3700
Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами: $(50 \cdot 2) \cdot 37 = 100 \cdot 37 = 3700$ .

Типичные ошибки

При применении распределительного свойства умножать число перед скобкой только на первое слагаемое (или уменьшаемое).
Путать знаки (сложения или вычитания) при вынесении общего множителя за скобки.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото