Действия над натуральными числами

В равенстве $a + b = c$ числа $a$ и $b$ называются слагаемыми, а $c$ — суммой. В равенстве $a - b = c$ число $a$ называется уменьшаемым, $b$ — вычитаемым, $c$ — разностью. Разность натуральных чисел будет натуральным числом, только если уменьшаемое больше вычитаемого: например, $3 - 7$ натуральным числом не является.

Неизвестный компонент находят обратным действием:

• неизвестное слагаемое = сумма $-$ известное слагаемое;
• неизвестное уменьшаемое = вычитаемое $+$ разность;
• неизвестное вычитаемое = уменьшаемое $-$ разность.

Например, если $x - 148 = 367$, то $x = 367 + 148 = 515$; если $900 - x = 356$, то $x = 900 - 356 = 544$. Ответ полезно проверить обратным действием: $515 - 148 = 367$.

Сумму одинаковых слагаемых коротко записывают умножением: $6 + 6 + 6 + 6 = 6 \cdot 4 = 24$. В равенстве $a \cdot b = c$ числа $a$ и $b$ называются множителями, а $c$ — произведением. В равенстве $a : b = c$ число $a$ называется делимым, $b$ — делителем, $c$ — частным.

• неизвестный множитель = произведение $:$ известный множитель;
• неизвестное делимое = делитель $\cdot$ частное;
• неизвестный делитель = делимое $:$ частное.

Например, если $x : 24 = 15$, то $x = 24 \cdot 15 = 360$; если $432 : x = 18$, то $x = 432 : 18 = 24$.

Действия с нулём и единицей: $a \cdot 1 = a$, $a : 1 = a$, $a : a = 1$, $a \cdot 0 = 0$, $0 : a = 0$ ($a \neq 0$). На нуль делить нельзя: запись $a : 0$ не имеет смысла.

Такие вопросы часто встречаются на экзамене. Запомните правила:

• если одно слагаемое увеличить на $k$, сумма увеличится на $k$; если одно слагаемое увеличить на $k$, а другое уменьшить на $k$, сумма не изменится;
• если уменьшаемое увеличить на $k$, разность увеличится на $k$, а если на $k$ увеличить вычитаемое, разность уменьшится на $k$; если оба увеличить на одно и то же число, разность не изменится;
• если один множитель увеличить в $k$ раз, произведение увеличится в $k$ раз; если один множитель увеличить в $m$ раз, а другой в $n$ раз, произведение увеличится в $mn$ раз;
• если делимое увеличить в $k$ раз, частное увеличится в $k$ раз, а если в $k$ раз увеличить делитель, частное уменьшится в $k$ раз.

Например, если уменьшаемое увеличить на 12, а вычитаемое уменьшить на 5, разность увеличится на $12 + 5 = 17$:

В текстовых задачах эти выражения нельзя путать:

• «$a$ больше $b$ на 5» означает $a = b + 5$; чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, вычитают: $a - b = 5$;
• «$a$ больше $b$ в 5 раз» означает $a = 5b$; чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, делят: $a : b = 5$.

В задачах на части удобно обозначить меньшее число через $x$. Сумма двух чисел равна 56, и одно из них в 3 раза больше другого: $x + 3x = 56$, $4x = 56$, $x = 14$. Значит, это числа 14 и 42.