Натуральные числа и их запись в десятичной системе счисления

Числа, которые используются при счёте, называются натуральными: $1, 2, 3, 4, \dots$. Наименьшее натуральное число 1, а наибольшего не существует. Число 0 натуральным не является. Множество натуральных чисел обозначают буквой $N$.

Для записи чисел используют десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифра — это знак для записи, а число выражает количество: например, число 305 записано тремя цифрами. Однозначных натуральных чисел девять: от 1 до 9.

Десятичная система счисления позиционная: значение цифры зависит от её позиции. В числе 555 первая пятёрка означает пять сотен, вторая — пять десятков, третья — пять единиц. Единица каждого разряда в 10 раз больше единицы соседнего разряда справа.

Разряды справа налево объединяются по три в классы:

• класс единиц: единицы, десятки, сотни;
• класс тысяч: единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч;
• класс миллионов: единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов;
• класс миллиардов: единицы миллиардов, десятки миллиардов, сотни миллиардов.

Чтобы прочитать многозначное число, его разбивают справа налево на группы по три цифры: 45 208 017 читается как сорок пять миллионов двести восемь тысяч семнадцать. Когда число записывают по его названию, на месте отсутствующих разрядов ставят нули: семь миллионов двадцать тысяч пять = 7 020 005.

Любое натуральное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых:

Число с неизвестными цифрами обозначают чертой сверху: $\overline{ab}$ — двузначное число, $\overline{abc}$ — трёхзначное ($a \neq 0$). Тогда

Внимание: $\overline{ab}$ — это не произведение $a \cdot b$. Такая запись особенно удобна в задачах с перестановкой цифр: $\overline{ab} + \overline{ba} = 11(a + b)$ и $\overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b)$.

• Наименьшее $n$-значное число равно $10^{n-1}$, наибольшее равно $10^n - 1$. Например, четырёхзначные числа идут от 1000 до 9999.
• Количество $n$-значных натуральных чисел равно $9 \cdot 10^{n-1}$: двузначных чисел 90, трёхзначных 900.
• Количество натуральных чисел от $a$ до $b$ включительно равно $b - a + 1$.

В задачах вроде нумерации страниц книги числа делят на группы по количеству цифр и считают каждую группу отдельно.

Какое из двух натуральных чисел больше, можно определить по их записи:

• больше то число, в записи которого больше цифр: $10\,000 > 9999$;
• если цифр поровну, числа сравнивают поразрядно слева направо и смотрят на первую несовпадающую цифру: $47\,385 > 47\,358$, так как первые три цифры слева совпадают, а в разряде десятков $8 > 5$.

В натуральном ряду каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Поэтому последовательные натуральные числа удобно записывать как $n$, $n + 1$, $n + 2$.