Правило разложения на простые множители

Чтобы разложить составное число на простые множители, его делят на наименьшее простое число, на которое оно делится без остатка. Полученное частное снова делят на наименьшее возможное простое число, и этот процесс продолжают до тех пор, пока в частном не получится $1$ . Произведение всех полученных простых чисел дает исходное составное число.

Например, разложим число $60$ на простые множители: $60 : 2 = 30$ $30 : 2 = 15$ $15 : 3 = 5$ $5 : 5 = 1$ Следовательно, $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ .

Количество и виды множителей

Если число разложено в виде $a^x \cdot b^y \cdot c^z$ (где $a, b, c$ — различные простые числа, а $x, y, z$ — натуральные показатели степеней):

Количество простых множителей равно сумме всех показателей степеней: $x + y + z$ .
Количество различных простых множителей — это количество разных простых чисел в основании.
Количество натуральных делителей находится путем прибавления $1$ к каждому показателю степени и их перемножения: $(x+1)(y+1)(z+1)$ .

Например, для числа $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ : Количество простых множителей: $2 + 1 + 1 = 4$ . Количество различных простых множителей: $3$ (это 2, 3 и 5). Количество натуральных делителей: $(2+1)(1+1)(1+1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ .

Запомните

Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.
При разложении одинаковые простые множители записываются в виде степени: $N = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ .
Формула количества натуральных делителей: $N_b = (x+1)(y+1)(z+1)$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Найдите количество натуральных делителей числа $120$ .
Решение
Сначала разложим $120$ на простые множители: $120 = 2 \cdot 60 = 2 \cdot 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$ . Запишем в виде степеней: $120 = 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1$ . Применим формулу нахождения количества натуральных делителей: прибавляем $1$ к каждой степени и перемножаем. $(3+1) \cdot (1+1) \cdot (1+1) = 4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ . Ответ: 16
Пример 2
Если количество натуральных делителей числа $A = 2^x \cdot 3^2 \cdot 5$ равно $24$ , найдите $x$ .
Решение
Данное разложение: $A = 2^x \cdot 3^2 \cdot 5^1$ . Формула количества натуральных делителей: $(x+1)(2+1)(1+1) = 24$ . Упростим уравнение: $(x+1) \cdot 3 \cdot 2 = 24$ $(x+1) \cdot 6 = 24$ $x+1 = 4$ $x = 3$ . Ответ: 3

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Сколько различных простых множителей имеет число $72$ ?
1. 2
2. 3
3. 4
4. 5
5. 6
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 2
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ . Простые числа, участвующие в основании, — это $2$ и $3$ . То есть всего 2 различных простых множителя.
У какого из чисел в разложении на простые множители больше всего множителей (с учётом повторяющихся)?
1. 16
2. 30
3. 42
4. 50
5. 64
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E 64
$16 = 2^4$ (4 множителя). $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ (3 множителя). $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$ (3 множителя). $50 = 2 \cdot 5^2$ (3 множителя). $64 = 2^6$ (6 множителей). Число 64 имеет наибольшее количество простых множителей.
Количество натуральных делителей числа $N = 5^2 \cdot 7^y$ равно $12$ . Найдите $y$ .
1. 1
2. 2
3. 3
4. 4
5. 5
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 3
Количество натуральных делителей: $(2+1)(y+1) = 12$ . $3(y+1) = 12 \Rightarrow y+1 = 4 \Rightarrow y = 3$ .

Типичные ошибки

Забыть прибавить единицу к показателям степеней при нахождении количества натуральных делителей.
Путать общее количество простых множителей с количеством различных простых множителей.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото