Нахождение НОД и НОК

Для того чтобы найти НОД и НОК чисел, их сначала нужно разложить на простые множители.

НОД (Наибольший общий делитель): Находится как произведение общих простых множителей с наименьшими показателями степени. Например, если $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 7$ , то $\text{НОД}(a, b) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ .

НОК (Наименьшее общее кратное): Находится как произведение всех простых множителей с наибольшими показателями степени. Для примера выше $\text{НОК}(a, b) = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 27 \cdot 35 = 7560$ .

Основные свойства и понятие c

С НОД и НОК связаны важные формулы. Произведение необщих простых множителей двух чисел обычно обозначается буквой $c$ .

$\text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b) = a \cdot b$
$\text{НОК}(a, b) = \text{НОД}(a, b) \cdot c$
$c = \frac{\text{НОК}(a, b)}{\text{НОД}(a, b)}$
$\text{НОД}(a, b) = \sqrt{\frac{a \cdot b}{c}}$
$\text{НОК}(a, b) = \sqrt{a \cdot b \cdot c}$

Если два числа взаимно простые, то $\text{НОД}(a, b) = 1$ и $\text{НОК}(a, b) = a \cdot b$ . Если число $a$ делится на $b$ без остатка, то $\text{НОД}(a, b) = b$ и $\text{НОК}(a, b) = a$ .

Запомните

НОД — это произведение общих множителей с наименьшими степенями.
НОК — это произведение всех множителей с наибольшими степенями.
Произведение двух чисел равно произведению их НОД и НОК: $a \cdot b = \text{НОД} \cdot \text{НОК}$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Произведение необщих простых множителей натуральных чисел $a$ и $b$ равно $c = 6$ . Если $\text{НОК}(a, b) = 120$ , найдите произведение $a \cdot b$ .
Решение
Мы знаем, что $c = \frac{\text{НОК}(a, b)}{\text{НОД}(a, b)}$ . Отсюда $\text{НОД}(a, b) = \frac{\text{НОК}(a, b)}{c} = \frac{120}{6} = 20$ . С другой стороны, $a \cdot b = \text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b)$ . Тогда $a \cdot b = 120 \cdot 20 = 2400$ . Ответ: 2400
Пример 2
$a$ и $b$ — последовательные четные числа. Если $\text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = 62$ , найдите сумму этих чисел.
Решение
Наибольший общий делитель последовательных четных чисел всегда равен $2$ : $\text{НОД}(a, b) = 2$ . Подставим в уравнение: $\text{НОК}(a, b) + 2 = 62 \Rightarrow \text{НОК}(a, b) = 60$ . Мы знаем, что $a \cdot b = \text{НОД} \cdot \text{НОК} = 2 \cdot 60 = 120$ . Последовательные четные числа, произведение которых равно 120, это $10$ и $12$ ( $10 \cdot 12 = 120$ ). Сумма этих чисел: $10 + 12 = 22$ . Ответ: 22

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Найдите НОД чисел $A = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$ и $B = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 7$ .
1. 72
2. 144
3. 360
4. 24
5. 216
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 72
Для НОД берем только общие множители в наименьших степенях: $2^3$ и $3^2$ . То есть $\text{НОД}(A, B) = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ .
Произведение двух натуральных чисел равно $216$ , а произведение их необщих простых множителей равно $6$ . Найдите НОД этих чисел.
1. 4
2. 6
3. 12
4. 36
5. 8
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 6
По формуле: $\text{НОД} = \sqrt{\frac{a \cdot b}{c}} = \sqrt{\frac{216}{6}} = \sqrt{36} = 6$ .
Числа $a$ и $b$ взаимно простые. Если $\text{НОК}(a, b) = 60$ и $a + \frac{20}{b} = 16$ , найдите $a$ .
1. 12
2. 5
3. 15
4. 4
5. 10
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 12
Для взаимно простых чисел $\text{НОК}(a, b) = a \cdot b = 60$ . Умножим обе части второго уравнения на $b$ : $ab + 20 = 16b$ . Подставим 60 вместо $ab$ : $60 + 20 = 16b \Rightarrow 80 = 16b \Rightarrow b = 5$ . Тогда $a = \frac{60}{b} = \frac{60}{5} = 12$ .

Типичные ошибки

При нахождении НОД учитывать в произведении и необщие множители.
Думать, что НОК последовательных нечетных или взаимно простых чисел равно $1$ (НОК равен их произведению, а НОД равен 1).

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото