Квадратный корень

Квадратным корнем из числа $a$ называется число, квадрат которого равен $a$. Например, квадратные корни из 49 равны $7$ и $-7$, так как $7^2 = 49$ и $(-7)^2 = 49$.

В зависимости от знака $a$ возможны три случая:

• при $a > 0$ квадратных корней два, и они противоположны: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$;
• при $a = 0$ корень один: $0$;
• при $a < 0$ среди действительных чисел квадратного корня нет, потому что квадрат действительного числа не бывает отрицательным.

Запись $\sqrt{a}$ ($a \geq 0$) обозначает неотрицательный из корней, его называют арифметическим квадратным корнем. Поэтому $\sqrt{49} = 7$, а не $-7$.

Из определения следует, что при $a \geq 0$ верно $(\sqrt{a})^2 = a$: $(\sqrt{7})^2 = 7$, $(\sqrt{0{,}3})^2 = 0{,}3$.

Найти квадратные корни из числа $a$ значит решить уравнение $x^2 = a$:

Например, если $x^2 = 0{,}36$, то $x = \pm 0{,}6$; если $x^2 = 7$, то $x = \pm\sqrt{7}$; а уравнение $x^2 = -4$ действительных корней не имеет.

То же правило работает, когда в квадрат возводится скобка: из $(x - 3)^2 = 16$ получаем $x - 3 = 4$ или $x - 3 = -4$. Потерять отрицательный корень — самая частая ошибка в этой теме.

Квадраты чисел от 11 до 20 полезно знать наизусть: $11^2 = 121$, $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$, $15^2 = 225$, $16^2 = 256$, $17^2 = 289$, $18^2 = 324$, $19^2 = 361$, $20^2 = 400$.

Корень из дроби извлекают отдельно из числителя и знаменателя:

Корень из большого числа можно найти разложением на простые множители: $1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$, значит $\sqrt{1764} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Полный квадрат может оканчиваться только на 0, 1, 4, 5, 6 или 9. Натуральное число, которое оканчивается на 2, 3, 7 или 8, полным квадратом не является, и корень из него не натуральный: например, 2023 не полный квадрат.

Если натуральное число не является полным квадратом, его квадратный корень иррационален (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{50}$). Между какими соседними целыми числами лежит такой корень, находят с помощью квадратов: $49 < 50 < 64$, поэтому $7 < \sqrt{50} < 8$.

Для неотрицательных чисел из $a < b$ следует $\sqrt{a} < \sqrt{b}$. Поэтому, чтобы сравнить корни, достаточно сравнить подкоренные числа: $\sqrt{17} < \sqrt{19}$. Чтобы сравнить положительное число с корнем, внесём его под корень: $5 = \sqrt{25}$, значит $5 > \sqrt{24}$.

Название «квадратный корень» связано с геометрией: сторона квадрата площадью $S$ равна $\sqrt{S}$. Например, у квадрата площадью 81 см² сторона равна $\sqrt{81} = 9$ см. Длина не бывает отрицательной, поэтому в таких задачах из двух корней уравнения $x^2 = 81$ берут только положительный, а $-9$ отбрасывают. Сторона квадрата площадью 50 см² равна $\sqrt{50}$ см и, по оценке выше, лежит между 7 и 8 см.