Определение

Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$ . Он обозначается $\sqrt{a}$ , а число $a$ называется подкоренным выражением.

Равенство $\sqrt{a} = b$ верно, только если одновременно выполнены два условия:

$b \geq 0$ ;
$b^2 = a$ .

Например, $\sqrt{81} = 9$ , так как $9 \geq 0$ и $9^2 = 81$ . А запись $\sqrt{81} = -9$ неверна: хотя $(-9)^2 = 81$ , но $-9 < 0$ . Таким образом, у числа 81 два квадратных корня ( $9$ и $-9$ ), а арифметический — только один. Отрицательный корень записывают как $-\sqrt{81} = -9$ . Кроме того, $\sqrt{0} = 0$ .

Следствия из определения

$\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a \geq 0$ : выражение $\sqrt{-16}$ не имеет смысла во множестве действительных чисел.
Всегда $\sqrt{a} \geq 0$ , поэтому $\sqrt{a}$ никогда не может равняться отрицательному числу.
При $a \geq 0$ верно $(\sqrt{a})^2 = a$ . Например, $(\sqrt{7})^2 = 7$ , $(\sqrt{2{,}5})^2 = 2{,}5$ , $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ .
В выражениях с переменной это равенство верно с условием: $(\sqrt{x - 3})^2 = x - 3$ только при $x \geq 3$ , так как при $x < 3$ левая часть не имеет смысла.

Внимание: $\sqrt{a^2}$ не всегда равен $a$ . $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ , а не $-5$ . В общем случае $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Условие для подкоренного выражения

В выражении с переменной подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

для $\sqrt{x - 3}$ нужно $x - 3 \geq 0$ , то есть $x \geq 3$ ;
для $\sqrt{6 - 2x}$ нужно $6 - 2x \geq 0$ , то есть $x \leq 3$ ;
$\sqrt{x^2 + 1}$ имеет смысл при любом $x$ , так как $x^2 + 1 > 0$ ;
$\sqrt{-x^2}$ имеет смысл только при $x = 0$ .

Если корень стоит в знаменателе, условие становится строгим, так как на нуль делить нельзя: $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ имеет смысл только при $x > 0$ .

Уравнение $\sqrt{x} = b$

По определению:

при $b \geq 0$ уравнение $\sqrt{x} = b$ имеет единственный корень $x = b^2$ ;
при $b < 0$ корней нет, так как $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным.

Например, если $\sqrt{x} = 1{,}2$ , то $x = 1{,}44$ ; а уравнение $\sqrt{x} = -3$ корней не имеет. Если под корнем стоит выражение, правило то же:

\sqrt{2x - 1} = 3 \implies 2x - 1 = 9 \implies x = 5.

Запомните

$\sqrt{a} = b$ означает, что $b \geq 0$ и $b^2 = a$ .
$\sqrt{a}$ имеет смысл только при $a \geq 0$ , и всегда $\sqrt{a} \geq 0$ .
При $a \geq 0$ верно $(\sqrt{a})^2 = a$ , но $\sqrt{a^2} = |a|$ .
$\sqrt{x} = b$ : при $b \geq 0$ получаем $x = b^2$ , при $b < 0$ корней нет.
Если корень стоит в знаменателе, подкоренное выражение должно быть положительным, нуль недопустим.

Разобранные примеры

Пример 1
Вычислите: $\sqrt{0{,}64} + 3\sqrt{1\dfrac{7}{9}} - (\sqrt{5})^2$ .
Решение
Вычислим каждое слагаемое отдельно:
- $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ , так как $0{,}8 \geq 0$ и $0{,}8^2 = 0{,}64$ ;
- $1\dfrac{7}{9} = \dfrac{16}{9}$ , значит, $3\sqrt{\dfrac{16}{9}} = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4$ ;
- $(\sqrt{5})^2 = 5$ .
Итог: $0{,}8 + 4 - 5 = -0{,}2$ .

Ответ: $-0{,}2$ .
Пример 2
Найдите значение выражения $\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3$ .
Решение
Чтобы выражение имело смысл, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:

$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2,$ $2 - x \geq 0 \implies x \leq 2.$

Обоим условиям удовлетворяет только $x = 2$ . Тогда значение выражения:

$\sqrt{0} + \sqrt{0} + 3 = 3.$

Ответ: 3.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какое равенство верно?
1. $\sqrt{0{,}9} = 0{,}3$
2. $\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$
3. $\sqrt{16} = \pm 4$
4. $\sqrt{(-7)^2} = -7$
5. $\sqrt{-25} = -5$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$
$1{,}1 \geq 0$ и $1{,}1^2 = 1{,}21$ , значит, B верно. A неверно: $0{,}3^2 = 0{,}09$ . C неверно: $\sqrt{16} = 4$ . D неверно: $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$ . В E под корнем отрицательное число, такое выражение не имеет смысла.
Найдите корень уравнения $\sqrt{2x - 3} = 7$ .
1. 5
2. 23
3. 2
4. 49
5. 26
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E 26
Правая часть $7 \geq 0$ , поэтому $2x - 3 = 7^2 = 49$ , $2x = 52$ , $x = 26$ . Проверка: $\sqrt{52 - 3} = \sqrt{49} = 7$ .
При скольких целых значениях $x$ имеет смысл выражение $\sqrt{5 - x} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$ ?
1. 7
2. 8
3. 6
4. 5
5. 9
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A 7
Для первого корня нужно $5 - x \geq 0$ , то есть $x \leq 5$ . Второй корень стоит в знаменателе, поэтому $x + 2 > 0$ , то есть $x > -2$ . Значит, $-2 < x \leq 5$ : целые значения $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ , всего 7.

Типичные ошибки

Писать $\sqrt{16} = \pm 4$ : запись $\sqrt{a}$ обозначает только неотрицательный корень, $\sqrt{16} = 4$ .
Давать ответ $x = 9$ для уравнения $\sqrt{x} = -3$ : левая часть не может быть отрицательной, поэтому корней нет.
Записывать условие $\geq 0$ , когда корень стоит в знаменателе: в выражении $\dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$ значение $x = -2$ недопустимо, так как знаменатель обращается в нуль.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото