Tərif

Kvadratı $a$ -ya bərabər olan mənfi olmayan ədədə $a$ ədədinin hesabi kvadrat kökü deyilir və o, $\sqrt{a}$ ilə işarə olunur. $a$ ədədi kök altındakı ifadə adlanır.

$\sqrt{a} = b$ bərabərliyi yalnız iki şərt birlikdə ödənildikdə doğrudur:

$b \geq 0$ ;
$b^2 = a$ .

Məsələn, $\sqrt{81} = 9$ , çünki $9 \geq 0$ və $9^2 = 81$ . $\sqrt{81} = -9$ yazmaq isə səhvdir: $(-9)^2 = 81$ olsa da, $-9 < 0$ . Beləliklə, 81-in iki kvadrat kökü var ( $9$ və $-9$ ), hesabi kvadrat kökü isə yalnız biridir. Mənfi kök $-\sqrt{81} = -9$ kimi yazılır. Həmçinin $\sqrt{0} = 0$ .

Tərifdən çıxan nəticələr

$\sqrt{a}$ yalnız $a \geq 0$ olduqda mənalıdır: $\sqrt{-16}$ ifadəsinin həqiqi ədədlər çoxluğunda mənası yoxdur.
Həmişə $\sqrt{a} \geq 0$ olur, ona görə $\sqrt{a}$ heç vaxt mənfi ədədə bərabər ola bilməz.
$a \geq 0$ olduqda $(\sqrt{a})^2 = a$ . Məsələn, $(\sqrt{7})^2 = 7$ , $(\sqrt{2{,}5})^2 = 2{,}5$ , $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ .
Dəyişənli ifadədə bu bərabərlik şərtlə doğrudur: $(\sqrt{x - 3})^2 = x - 3$ yalnız $x \geq 3$ olduqda yazıla bilər, çünki $x < 3$ olduqda sol tərəfin mənası yoxdur.

Diqqət: $\sqrt{a^2}$ ifadəsi həmişə $a$ -ya bərabər deyil. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$ olur, $-5$ yox. Ümumi halda $\sqrt{a^2} = |a|$ .

Kök altındakı ifadənin şərti

Dəyişəni olan ifadədə kök altındakı ifadə mənfi olmamalıdır:

$\sqrt{x - 3}$ üçün $x - 3 \geq 0$ , yəni $x \geq 3$ ;
$\sqrt{6 - 2x}$ üçün $6 - 2x \geq 0$ , yəni $x \leq 3$ ;
$\sqrt{x^2 + 1}$ istənilən $x$ üçün mənalıdır, çünki $x^2 + 1 > 0$ ;
$\sqrt{-x^2}$ yalnız $x = 0$ olduqda mənalıdır.

Kök məxrəcdə olduqda bərabərsizlik ciddi olur, çünki sıfıra bölmək olmaz: $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ifadəsi yalnız $x > 0$ olduqda mənalıdır.

$\sqrt{x} = b$ tənliyi

Tərifə görə:

$b \geq 0$ olduqda $\sqrt{x} = b$ tənliyinin yeganə kökü $x = b^2$ -dir;
$b < 0$ olduqda tənliyin kökü yoxdur, çünki $\sqrt{x}$ mənfi ola bilməz.

Məsələn, $\sqrt{x} = 1{,}2$ olduqda $x = 1{,}44$ ; $\sqrt{x} = -3$ tənliyinin isə kökü yoxdur. Kök altında ifadə olduqda da eyni qayda işləyir:

\sqrt{2x - 1} = 3 \implies 2x - 1 = 9 \implies x = 5.

Yadda saxla

$\sqrt{a} = b$ o deməkdir ki, $b \geq 0$ və $b^2 = a$ .
$\sqrt{a}$ yalnız $a \geq 0$ olduqda mənalıdır və həmişə $\sqrt{a} \geq 0$ .
$a \geq 0$ olduqda $(\sqrt{a})^2 = a$ , lakin $\sqrt{a^2} = |a|$ .
$\sqrt{x} = b$ : $b \geq 0$ olduqda $x = b^2$ , $b < 0$ olduqda kök yoxdur.
Kök məxrəcdə olduqda kök altındakı ifadə müsbət olmalıdır, sıfır ola bilməz.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Hesablayın: $\sqrt{0{,}64} + 3\sqrt{1\dfrac{7}{9}} - (\sqrt{5})^2$ .
Həlli
Hər toplananı ayrıca hesablayaq:
- $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$ , çünki $0{,}8 \geq 0$ və $0{,}8^2 = 0{,}64$ ;
- $1\dfrac{7}{9} = \dfrac{16}{9}$ , deməli, $3\sqrt{\dfrac{16}{9}} = 3 \cdot \dfrac{4}{3} = 4$ ;
- $(\sqrt{5})^2 = 5$ .
Nəticə: $0{,}8 + 4 - 5 = -0{,}2$ .

Cavab: $-0{,}2$ .
Misal 2
$\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + 3$ ifadəsinin qiymətini tapın.
Həlli
İfadənin mənası olması üçün hər iki kök altındakı ifadə mənfi olmamalıdır:

$x - 2 \geq 0 \implies x \geq 2,$ $2 - x \geq 0 \implies x \leq 2.$

Hər iki şərti yalnız $x = 2$ ödəyir. Onda ifadənin qiyməti:

$\sqrt{0} + \sqrt{0} + 3 = 3.$

Cavab: 3.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hansı bərabərlik doğrudur?
1. $\sqrt{0{,}9} = 0{,}3$
2. $\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$
3. $\sqrt{16} = \pm 4$
4. $\sqrt{(-7)^2} = -7$
5. $\sqrt{-25} = -5$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$
$1{,}1 \geq 0$ və $1{,}1^2 = 1{,}21$ , deməli, B doğrudur. A səhvdir: $0{,}3^2 = 0{,}09$ . C səhvdir: $\sqrt{16} = 4$ . D səhvdir: $\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7$ . E-də kök altında mənfi ədəd var, bu ifadənin mənası yoxdur.
$\sqrt{2x - 3} = 7$ tənliyinin kökünü tapın.
1. 5
2. 23
3. 2
4. 49
5. 26
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E 26
Sağ tərəf $7 \geq 0$ olduğu üçün $2x - 3 = 7^2 = 49$ , $2x = 52$ , $x = 26$ . Yoxlama: $\sqrt{52 - 3} = \sqrt{49} = 7$ .
$\sqrt{5 - x} + \dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$ ifadəsi $x$ -in neçə tam qiymətində mənalıdır?
1. 7
2. 8
3. 6
4. 5
5. 9
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A 7
Birinci kök üçün $5 - x \geq 0$ , yəni $x \leq 5$ . İkinci kök məxrəcdədir, ona görə $x + 2 > 0$ , yəni $x > -2$ . Deməli, $-2 < x \leq 5$ : tam qiymətlər $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ , cəmi 7 ədəd.

Tipik səhvlər

$\sqrt{16} = \pm 4$ yazmaq: $\sqrt{a}$ yalnız mənfi olmayan kökü göstərir, $\sqrt{16} = 4$ .
$\sqrt{x} = -3$ tənliyinə $x = 9$ cavabını yazmaq: sol tərəf mənfi ola bilməz, ona görə tənliyin kökü yoxdur.
Kök məxrəcdə olduqda şərti $\geq 0$ kimi yazmaq: $\dfrac{1}{\sqrt{x + 2}}$ ifadəsində $x = -2$ ola bilməz, çünki məxrəc sıfır olur.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et