Определение степени с натуральным показателем

Операция многократного умножения одного и того же множителя на самого себя называется степенью с натуральным показателем. Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ обозначается как $a^n$ и читается " $a$ в степени $n$ " или " $a$ в $n$ -й степени". Здесь $a$ — основание степени, а $n$ — показатель степени. $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$ Например, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . $a^1 = a$ . Примечание: $n$ должно быть натуральным числом, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ .

Основные свойства степени с натуральным показателем

Для степеней с натуральным показателем верны следующие свойства ( $a, b$ — любые числа, $m, n$ — натуральные числа):

Умножение степеней с одинаковыми основаниями: Показатели степени складываются, основание остаётся прежним. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Например, $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ .
Деление степеней с одинаковыми основаниями: Показатели степени вычитаются, основание остаётся прежним ( $a \neq 0$ , $m > n$ ). $a^m : a^n = a^{m-n}$ Например, $5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$ .
Возведение степени в степень: Показатели степени перемножаются, основание остаётся прежним. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ Например, $((x^2)^3)^2 = (x^6)^2 = x^{12}$ .
Возведение произведения в степень: Каждый множитель возводится в эту степень. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ Например, $(2xy)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 8x^3y^3$ .
Возведение дроби в степень: Числитель и знаменатель дроби возводятся в эту степень ( $b \neq 0$ ). $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ Например, $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$ .

Применение свойств степени

Эти свойства широко используются для упрощения выражений, вычислений и решения уравнений. Например, такие понятия как $a^0=1$ (степень с нулевым показателем) и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (степень с целым отрицательным показателем) возникают в результате обобщения свойств степени с натуральным показателем. Однако в теме "Степень с натуральным показателем" мы работаем только с положительными целыми показателями. При работе со степенями важно обращать внимание на разницу между основаниями и показателями степени. Например, $(a^2)^3 = a^6$ , но $a^{2^3} = a^8$ .

Запомните

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$ ( $n$ натуральное число)
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$ ( $a \neq 0$ , $m > n$ )
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ( $b \neq 0$ )

Разобранные примеры

Пример 1
Упростите выражение: $(x^3)^2 \cdot x^5 : x^4$
Решение
1. Сначала применим свойство возведения степени в степень: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ .
2. Выражение примет вид: $x^6 \cdot x^5 : x^4$ .
3. Применим свойство умножения степеней: $x^6 \cdot x^5 = x^{6+5} = x^{11}$ .
4. Выражение примет вид: $x^{11} : x^4$ .
5. Применим свойство деления степеней: $x^{11} : x^4 = x^{11-4} = x^7$ . Ответ: $x^7$ .
Пример 2
Вычислите: $\frac{(2^3 \cdot 3^2)^2}{6^3}$
Решение
1. В числителе применим свойство возведения произведения в степень: $(2^3 \cdot 3^2)^2 = (2^3)^2 \cdot (3^2)^2 = 2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 2} = 2^6 \cdot 3^4$ .
2. В знаменателе представим основание $6^3$ как произведение $2 \cdot 3$ : $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$ .
3. Выражение примет вид: $\frac{2^6 \cdot 3^4}{2^3 \cdot 3^3}$ .
4. Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$ . $\frac{3^4}{3^3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3$ .
5. Перемножим полученные результаты: $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ . Ответ: 24.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Упростите выражение: $(a^4)^3 \cdot a^2$
1. $a^9$
2. $a^{10}$
3. $a^{14}$
4. $a^{24}$
5. $a^{12}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $a^{14}$
Возведение степени в степень: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$ . Затем умножение степеней с одинаковым основанием: $a^{12} \cdot a^2 = a^{12+2} = a^{14}$ .
Вычислите: $\frac{10^5}{2^4 \cdot 5^3}$
1. 10
2. 25
3. 50
4. 125
5. 250
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 50
$10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$ . Тогда $\frac{2^5 \cdot 5^5}{2^4 \cdot 5^3} = 2^{5-4} \cdot 5^{5-3} = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ .
Какое равенство неверно?
1. $(x^2)^5 = x^{10}$
2. $x^3 \cdot x^4 = x^7$
3. $(2x)^3 = 8x^3$
4. $x^8 : x^2 = x^4$
5. $\left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x^3}{y^3}$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $x^8 : x^2 = x^4$
$x^8 : x^2 = x^{8-2} = x^6$ . Правильный ответ должен быть $x^6$ , а $x^4$ неверно.

Типичные ошибки

При возведении степени в степень $(a^m)^n$ складывать показатели вместо умножения (например, писать $(a^2)^3 = a^5$ ).
При возведении произведения в степень $(ab)^n$ возводить в степень только один множитель (например, писать $(2x)^3 = 2x^3$ ).
Неправильно вычитать показатели при делении степеней с одинаковым основанием или делить больший показатель на меньший.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото