Natural üstlü qüvvətin tərifi

Eyni vuruğun bir neçə dəfə öz-özünə vurulması əməliyyatı natural üstlü qüvvət adlanır. $a$ ədədinin $n$ natural üstlü qüvvəti $a^n$ kimi işarə olunur və " $a$ üstü $n$ " və ya " $a$ -nın $n$ -ci qüvvəti" oxunur. Burada $a$ qüvvətin əsası, $n$ isə qüvvət üstü adlanır. $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ dəfə}}$ Məsələn, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . $(-3)^2 = (-3) \cdot (-3) = 9$ . $a^1 = a$ . Qeyd: $n$ natural ədəd olmalıdır, yəni $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ .

Natural üstlü qüvvətin əsas xassələri

Natural üstlü qüvvətlər üçün aşağıdakı xassələr doğrudur ( $a, b$ istənilən ədədlər, $m, n$ natural ədədlərdir):

Əsasları eyni olan qüvvətlərin vurulması: Qüvvət üstləri toplanır, əsas olduğu kimi qalır. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ Məsələn, $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$ .
Əsasları eyni olan qüvvətlərin bölünməsi: Qüvvət üstləri çıxılır, əsas olduğu kimi qalır ( $a \neq 0$ , $m > n$ ). $a^m : a^n = a^{m-n}$ Məsələn, $5^6 : 5^4 = 5^{6-4} = 5^2 = 25$ .
Qüvvətin qüvvətə yüksəldilməsi: Qüvvət üstləri vurulur, əsas olduğu kimi qalır. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ Məsələn, $((x^2)^3)^2 = (x^6)^2 = x^{12}$ .
Hasilin qüvvətə yüksəldilməsi: Hər vuruq bu qüvvət üstünə yüksəldilir. $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ Məsələn, $(2xy)^3 = 2^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 8x^3y^3$ .
Kəsrin qüvvətə yüksəldilməsi: Kəsrin surəti və məxrəci bu qüvvət üstünə yüksəldilir ( $b \neq 0$ ). $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ Məsələn, $\left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$ .

Qüvvət xassələrinin tətbiqi

Bu xassələr ifadələri sadələşdirmək, hesablamaq və tənlikləri həll etmək üçün geniş istifadə olunur. Məsələn, $a^0=1$ (sıfır üstlü qüvvət) və $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ (tam mənfi üstlü qüvvət) kimi anlayışlar natural üstlü qüvvətin xassələrinin ümumiləşdirilməsi nəticəsində yaranır. Lakin natural üstlü qüvvət mövzusunda biz yalnız müsbət tam üstlərlə işləyirik. Qüvvətlərlə işləyərkən əsasların və qüvvət üstlərinin fərqinə diqqət etmək vacibdir. Məsələn, $(a^2)^3 = a^6$ , lakin $a^{2^3} = a^8$ .

Yadda saxla

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ dəfə}}$ ( $n$ natural ədəd)
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
$a^m : a^n = a^{m-n}$ ( $a \neq 0$ , $m > n$ )
$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$
$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ( $b \neq 0$ )

Həll olunmuş misallar

Misal 1
İfadəni sadələşdirin: $(x^3)^2 \cdot x^5 : x^4$
Həlli
1. Əvvəlcə qüvvətin qüvvətə yüksəldilməsi xassəsini tətbiq edək: $(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$ .
2. İfadə belə olar: $x^6 \cdot x^5 : x^4$ .
3. Vurma xassəsini tətbiq edək: $x^6 \cdot x^5 = x^{6+5} = x^{11}$ .
4. İfadə belə olar: $x^{11} : x^4$ .
5. Bölmə xassəsini tətbiq edək: $x^{11} : x^4 = x^{11-4} = x^7$ . Cavab: $x^7$ .
Misal 2
Hesablayın: $\frac{(2^3 \cdot 3^2)^2}{6^3}$
Həlli
1. Surətdə hasilin qüvvətə yüksəldilməsi xassəsini tətbiq edək: $(2^3 \cdot 3^2)^2 = (2^3)^2 \cdot (3^2)^2 = 2^{3 \cdot 2} \cdot 3^{2 \cdot 2} = 2^6 \cdot 3^4$ .
2. Məxrəcdə $6^3$ əsasını 2 və 3 vuruqlarına ayıraq: $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$ .
3. İfadə belə olar: $\frac{2^6 \cdot 3^4}{2^3 \cdot 3^3}$ .
4. Əsasları eyni olan qüvvətlərin bölünməsi xassəsini tətbiq edək: $\frac{2^6}{2^3} = 2^{6-3} = 2^3$ . $\frac{3^4}{3^3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3$ .
5. Nəticələri vuraq: $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ . Cavab: 24.

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

İfadəni sadələşdirin: $(a^4)^3 \cdot a^2$
1. $a^9$
2. $a^{10}$
3. $a^{14}$
4. $a^{24}$
5. $a^{12}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $a^{14}$
Qüvvətin qüvvətə yüksəldilməsi: $(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$ . Sonra əsasları eyni olan qüvvətlərin vurulması: $a^{12} \cdot a^2 = a^{12+2} = a^{14}$ .
Hesablayın: $\frac{10^5}{2^4 \cdot 5^3}$
1. 10
2. 25
3. 50
4. 125
5. 250
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C 50
$10^5 = (2 \cdot 5)^5 = 2^5 \cdot 5^5$ . Onda $\frac{2^5 \cdot 5^5}{2^4 \cdot 5^3} = 2^{5-4} \cdot 5^{5-3} = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$ .
Hansı bərabərlik səhvdir?
1. $(x^2)^5 = x^{10}$
2. $x^3 \cdot x^4 = x^7$
3. $(2x)^3 = 8x^3$
4. $x^8 : x^2 = x^4$
5. $\left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x^3}{y^3}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $x^8 : x^2 = x^4$
$x^8 : x^2 = x^{8-2} = x^6$ . Doğru cavab $x^6$ olmalıdır, $x^4$ səhvdir.

Tipik səhvlər

Qüvvətin qüvvətə yüksəldilməsi $(a^m)^n$ zamanı üstləri vurmaq əvəzinə toplamaq (məsələn, $(a^2)^3 = a^5$ yazmaq).
Hasilin qüvvətə yüksəldilməsi $(ab)^n$ zamanı yalnız bir vuruğu qüvvətə yüksəltmək (məsələn, $(2x)^3 = 2x^3$ yazmaq).
Əsasları eyni olan qüvvətlərin bölünməsində üstləri səhv çıxmaq və ya böyük üstü kiçiyə bölmək.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et