Fərq üsulu

İki $A$ və $B$ ifadəsinin qiymətlərini müqayisə etmək üçün onların fərqini ( $A-B$ ) tapmaq lazımdır:

Əgər $A-B > 0$ olarsa, onda $A > B$ .
Əgər $A-B < 0$ olarsa, onda $A < B$ .
Əgər $A-B = 0$ olarsa, onda $A = B$ .

Bu üsul ifadələri sadələşdirmək və fərqin işarəsini təyin etmək üçün geniş istifadə olunur. Məsələn, $\frac{x^2+1}{x}$ ifadəsini 2 ilə müqayisə etmək üçün fərqə baxırıq: $\frac{x^2+1}{x}-2 = \frac{x^2+1-2x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}$ . Əgər $x>0$ olarsa, $(x-1)^2 \ge 0$ olduğundan, fərq $\ge 0$ olar, yəni $\frac{x^2+1}{x} \ge 2$ .

Nisbət üsulu

Əgər müqayisə olunan $A$ və $B$ ifadələrinin hər ikisi müsbət olarsa, onların nisbətini ( $A/B$ ) tapmaq olar:

Əgər $A, B > 0$ və $A/B > 1$ olarsa, onda $A > B$ .
Əgər $A, B > 0$ və $A/B < 1$ olarsa, onda $A < B$ .
Əgər $A, B > 0$ və $A/B = 1$ olarsa, onda $A = B$ .

Bu üsul daha çox qüvvətli ifadələri, kökləri və faktorialları müqayisə edərkən istifadə olunur. Məsələn, $2^{300}$ və $3^{200}$ ifadələrini müqayisə etmək üçün onları eyni qüvvətə gətiririk: $2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$ və $3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$ . Aydındır ki, $8^{100} < 9^{100}$ (nisbət: $\left(\frac{8}{9}\right)^{100} < 1$ ).

Məlum bərabərsizliklərdən və xassələrdən istifadə

Bəzən ifadələri müqayisə etmək üçün birbaşa fərq və ya nisbət tapmaq çətin olur. Bu hallarda aşağıdakı üsullardan istifadə etmək olar:

Kvadrat fərqi: İki müsbət ifadənin ( $A$ və $B$ ) müqayisəsi üçün onların kvadratlarının fərqinə baxmaq olar: $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$ . Əgər $A^2 > B^2$ olarsa, onda $A > B$ (yalnız $A, B > 0$ olduqda).
Tanış bərabərsizliklər: Məsələn, hər hansı həqiqi $x$ ədədi üçün $x^2 \ge 0$ və ya $(x-y)^2 \ge 0$ kimi bərabərsizliklər, həmçinin ədədi orta ilə həndəsi orta arasındakı bərabərsizlik (məsələn, $a,b \ge 0$ üçün $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ ) tez-tez tətbiq olunur.
Funksiyaların xassələri: Əgər ifadələr funksiya kimi yazıla bilərsə, funksiyanın artan və ya azalan olması müqayisəyə kömək edə bilər.

Yadda saxla

İki ifadəni müqayisə etmək üçün onların fərqinin işarəsini təyin edin: $A-B > 0 \Rightarrow A > B$ .
Müsbət ifadələr üçün nisbət üsulundan istifadə edin: $A, B > 0$ və $A/B > 1 \Rightarrow A > B$ .
Kvadrat kökləri və ya müsbət ifadələri müqayisə edərkən onların kvadratlarını müqayisə edin.
Məlum bərabərsizlikləri, məsələn, $(a-b)^2 \ge 0$ və ya $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ (ədədi orta və həndəsi orta) tətbiq edin.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Müqayisə edin: $\sqrt{7}+\sqrt{5}$ və $\sqrt{12}$ .
Həlli
Hər iki ifadə müsbətdir, buna görə onların kvadratlarını müqayisə edə bilərik: $(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} = 7 + 5 + 2\sqrt{35} = 12 + 2\sqrt{35}$ . $(\sqrt{12})^2 = 12$ .

Biz görürük ki, $12 + 2\sqrt{35} > 12$ . Hər iki ifadə müsbət olduğundan, onların kvadratları arasındakı bərabərsizlik ifadələrin özləri üçün də doğrudur.

Cavab: $\sqrt{7}+\sqrt{5} > \sqrt{12}$ .
Misal 2
$a>0, b>0$ olarsa, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ ifadəsini 2 ilə müqayisə edin.
Həlli
Fərq üsulundan istifadə edək: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 = \frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab} = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$ .

Şərtə görə $a>0$ və $b>0$ , deməli $ab > 0$ . Həmçinin, istənilən həqiqi ədədlər üçün $(a-b)^2 \ge 0$ bərabərsizliyi doğrudur. Beləliklə, $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ . Bu o deməkdir ki, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \ge 0$ , yəni $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ .

Cavab: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Müqayisə edin: $3\sqrt{2}$ və $\sqrt{17}$ .
1. $3\sqrt{2} < \sqrt{17}$
2. $3\sqrt{2} > \sqrt{17}$
3. $3\sqrt{2} = \sqrt{17}$
4. Müqayisə etmək mümkün deyil
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $3\sqrt{2} > \sqrt{17}$
Hər iki ifadə müsbətdir. $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ . İndi $\sqrt{18}$ və $\sqrt{17}$ müqayisə edirik. Aydındır ki, $\sqrt{18} > \sqrt{17}$ . Deməli, $3\sqrt{2} > \sqrt{17}$ .
$x>0$ olarsa, $\frac{x^2+9}{x}$ ifadəsini 6 ilə müqayisə edin.
1. $\frac{x^2+9}{x} < 6$
2. $\frac{x^2+9}{x} \ge 6$
3. $\frac{x^2+9}{x} = 6$
4. Müqayisə etmək mümkün deyil
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $\frac{x^2+9}{x} \ge 6$
Fərq üsulunu tətbiq edək: $\frac{x^2+9}{x}-6 = \frac{x^2+9-6x}{x} = \frac{(x-3)^2}{x}$ . Şərtə görə $x>0$ , deməli məxrəc müsbətdir. Surət $(x-3)^2 \ge 0$ . Beləliklə, fərq $\ge 0$ , yəni $\frac{x^2+9}{x} \ge 6$ . Bərabərlik yalnız $x=3$ olduqda alınır, ona görə də ">" və "=" variantları hər $x>0$ üçün doğru deyil.
Müqayisə edin: $A = 5^{40}$ və $B = 3^{60}$ .
1. $A < B$
2. $A > B$
3. $A = B$
4. Müqayisə etmək mümkün deyil
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: A $A < B$
İfadələri eyni qüvvətə gətirək. 40 və 60 ədədlərinin ən böyük ortaq böləni 20-dir. Deməli, qüvvəti 20-yə gətirə bilərik: $A = 5^{40} = (5^2)^{20} = 25^{20}$ . $B = 3^{60} = (3^3)^{20} = 27^{20}$ . İndi $25^{20}$ və $27^{20}$ müqayisə edirik. Aydındır ki, $25^{20} < 27^{20}$ . Deməli, $A < B$ .

Tipik səhvlər

Müqayisə edərkən ifadələrin işarəsini nəzərə almamaq. Məsələn, mənfi ədədləri qüvvətə yüksəldərkən bərabərsizliyin işarəsi dəyişə bilər.
Kvadrat kökləri müqayisə edərkən hər iki tərəfin müsbət olduğundan əmin olmamaq. Kvadratların müqayisəsi yalnız müsbət ifadələr üçün ekvivalentdir.
Nisbət üsulundan mənfi ifadələr üçün istifadə etmək. Nisbət üsulu yalnız müsbət ifadələr üçün etibarlıdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et