Метод разности

Для сравнения значений двух выражений $A$ и $B$ необходимо найти их разность ( $A-B$ ):

Если $A-B > 0$ , то $A > B$ .
Если $A-B < 0$ , то $A < B$ .
Если $A-B = 0$ , то $A = B$ .

Этот метод широко используется для упрощения выражений и определения знака разности. Например, чтобы сравнить выражение $\frac{x^2+1}{x}$ с числом 2, рассмотрим их разность: $\frac{x^2+1}{x}-2 = \frac{x^2+1-2x}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}$ . Если $x>0$ , то так как $(x-1)^2 \ge 0$ , разность будет $\ge 0$ , то есть $\frac{x^2+1}{x} \ge 2$ .

Метод отношения

Если оба сравниваемых выражения $A$ и $B$ положительны, можно найти их отношение ( $A/B$ ):

Если $A, B > 0$ и $A/B > 1$ , то $A > B$ .
Если $A, B > 0$ и $A/B < 1$ , то $A < B$ .
Если $A, B > 0$ и $A/B = 1$ , то $A = B$ .

Этот метод чаще используется при сравнении степенных выражений, корней и факториалов. Например, чтобы сравнить выражения $2^{300}$ и $3^{200}$ , приведем их к одной степени: $2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$ и $3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$ . Очевидно, что $8^{100} < 9^{100}$ (отношение: $\left(\frac{8}{9}\right)^{100} < 1$ ).

Использование известных неравенств и свойств

Иногда прямое нахождение разности или отношения выражений затруднительно. В таких случаях можно использовать следующие подходы:

Разность квадратов: Для сравнения двух положительных выражений ( $A$ и $B$ ) можно рассмотреть разность их квадратов: $A^2-B^2 = (A-B)(A+B)$ . Если $A^2 > B^2$ , то $A > B$ (только при $A, B > 0$ ).
Известные неравенства: Например, для любого действительного числа $x$ верно $x^2 \ge 0$ , или $(x-y)^2 \ge 0$ , а также неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (например, для $a,b \ge 0$ верно $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ ), которые часто применяются.
Свойства функций: Если выражения можно представить как функции, то возрастание или убывание функции может помочь в сравнении.

Запомните

Для сравнения двух выражений определите знак их разности: $A-B > 0 \Rightarrow A > B$ .
Для положительных выражений используйте метод отношения: $A, B > 0$ и $A/B > 1 \Rightarrow A > B$ .
При сравнении квадратных корней или положительных выражений сравнивайте их квадраты.
Применяйте известные неравенства, например, $(a-b)^2 \ge 0$ или неравенство о среднем арифметическом и геометрическом.

Разобранные примеры

Пример 1
Сравните: $\sqrt{7}+\sqrt{5}$ и $\sqrt{12}$ .
Решение
Оба выражения положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты: $(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2 = (\sqrt{7})^2 + (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{5} = 7 + 5 + 2\sqrt{35} = 12 + 2\sqrt{35}$ . $(\sqrt{12})^2 = 12$ .

Мы видим, что $12 + 2\sqrt{35} > 12$ . Поскольку оба исходных выражения положительны, неравенство между их квадратами сохраняется и для самих выражений.

Ответ: $\sqrt{7}+\sqrt{5} > \sqrt{12}$ .
Пример 2
При $a>0, b>0$ сравните выражение $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$ с числом 2.
Решение
Используем метод разности: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 = \frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab} = \frac{a^2+b^2-2ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}$ .

По условию $a>0$ и $b>0$ , следовательно, $ab > 0$ . Также, для любых действительных чисел $(a-b)^2 \ge 0$ . Таким образом, $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ . Это означает, что $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 \ge 0$ , то есть $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ .

Ответ: $\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \ge 2$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Сравните: $3\sqrt{2}$ и $\sqrt{17}$ .
1. $3\sqrt{2} < \sqrt{17}$
2. $3\sqrt{2} > \sqrt{17}$
3. $3\sqrt{2} = \sqrt{17}$
4. Сравнить невозможно
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $3\sqrt{2} > \sqrt{17}$
Оба выражения положительны. Преобразуем $3\sqrt{2}$ : $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$ . Теперь сравниваем $\sqrt{18}$ и $\sqrt{17}$ . Очевидно, что $\sqrt{18} > \sqrt{17}$ . Следовательно, $3\sqrt{2} > \sqrt{17}$ .
При $x>0$ сравните выражение $\frac{x^2+9}{x}$ с числом 6.
1. $\frac{x^2+9}{x} < 6$
2. $\frac{x^2+9}{x} \ge 6$
3. $\frac{x^2+9}{x} = 6$
4. Сравнить невозможно
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $\frac{x^2+9}{x} \ge 6$
Применим метод разности: $\frac{x^2+9}{x}-6 = \frac{x^2+9-6x}{x} = \frac{(x-3)^2}{x}$ . По условию $x>0$ , значит знаменатель положителен. Числитель $(x-3)^2 \ge 0$ . Таким образом, разность $\ge 0$ , то есть $\frac{x^2+9}{x} \ge 6$ . Равенство достигается только при $x=3$ , поэтому варианты с ">" и "=" верны не при всех $x>0$ .
Сравните: $A = 5^{40}$ и $B = 3^{60}$ .
1. $A < B$
2. $A > B$
3. $A = B$
4. Сравнить невозможно
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: A $A < B$
Приведем выражения к одной степени. Наибольший общий делитель показателей 40 и 60 равен 20. Поэтому мы можем привести их к степени 20: $A = 5^{40} = (5^2)^{20} = 25^{20}$ . $B = 3^{60} = (3^3)^{20} = 27^{20}$ . Теперь сравниваем $25^{20}$ и $27^{20}$ . Очевидно, что $25^{20} < 27^{20}$ . Следовательно, $A < B$ .

Типичные ошибки

Не учитывать знак выражений при сравнении. Например, при возведении в степень отрицательных чисел знак неравенства может измениться.
Не убеждаться, что обе части положительны при сравнении квадратных корней. Сравнение квадратов эквивалентно только для положительных выражений.
Применять метод отношения для отрицательных выражений. Метод отношения действителен только для положительных выражений.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото