Внутренняя энергия и способы её изменения

Внутренняя энергия тела — это сумма кинетической энергии хаотического движения его молекул и потенциальной энергии их взаимодействия. Молекулы идеального газа не взаимодействуют, поэтому внутренняя энергия данной массы газа зависит только от температуры. Для одноатомного идеального газа:

U=\dfrac32\nu RT=\dfrac32pV,

R=8{,}31\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}},

где $\nu$ — количество вещества.

Изменить внутреннюю энергию можно двумя способами: совершением работы (например, сжатием воздуха в насосе) и теплопередачей. Виды теплопередачи:

теплопроводность: энергия передаётся без переноса вещества, при взаимодействии частиц (металлы проводят тепло хорошо, газы плохо);
конвекция: энергия переносится потоками жидкости или газа, в твёрдых телах её нет;
излучение: энергия переносится электромагнитными волнами, возможно и в вакууме (так тепло Солнца доходит до Земли).

Количество теплоты и тепловой баланс

Энергию, которую тело получает или отдаёт при теплопередаче, называют количеством теплоты:

Q=cm(t_2-t_1).

$c$ — удельная теплоёмкость вещества: количество теплоты, нужное для нагревания 1 кг вещества на 1 К, единица $\dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{К}}$ (у воды $c=4200$ ). Теплоёмкость тела $C=cm=\dfrac{Q}{\Delta t}$ , единица Дж/К.

Если привести в контакт тела с разной температурой, горячее тело остывает, холодное нагревается, пока температуры не сравняются: наступает тепловое равновесие. Если теплообмена с окружающей средой нет, выполняется уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное горячими телами, равно количеству теплоты, полученному холодными, $Q_{\text{отд}}=Q_{\text{пол}}$ .

Работа газа и первый закон термодинамики

Газ, расширяясь при постоянном давлении, совершает работу $A'=p\Delta V$ . В любом процессе эта работа равна площади под графиком $p(V)$ . При расширении $A'>0$ , при сжатии $A'<0$ ; работа внешних сил над газом $A=-A'$ .

Первый закон — закон сохранения энергии для тепловых процессов: количество теплоты, переданное газу, идёт на изменение его внутренней энергии и на работу газа над внешними телами:

Q=\Delta U+A'.

Изотермический процесс ( $T=\text{const}$ ): $\Delta U=0$ , $Q=A'$ .
Изобарный ( $p=\text{const}$ ): $Q=\Delta U+p\Delta V$ ; для одноатомного газа $\Delta U=\dfrac32p\Delta V$ , $Q=\dfrac52p\Delta V$ .
Изохорный ( $V=\text{const}$ ): $A'=0$ , $Q=\Delta U$ .
Адиабатный ( $Q=0$ ): $A'=-\Delta U$ , расширяясь, газ охлаждается.

Второй закон и тепловые двигатели

Второй закон термодинамики: теплота не переходит самопроизвольно от холодного тела к горячему. Другая формулировка: в циклически работающем двигателе нельзя всю теплоту, полученную от нагревателя, превратить в работу.

Тепловой двигатель состоит из нагревателя ( $T_1$ ), рабочего тела (газа) и холодильника ( $T_2$ ). За цикл рабочее тело получает от нагревателя $Q_1$ , отдаёт холодильнику $Q_2$ и совершает работу $A'=Q_1-Q_2$ . КПД:

\eta=\dfrac{A'}{Q_1}=\dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}<1.

КПД идеального теплового двигателя наибольший и зависит только от температур (формула Карно):

\eta_{\max}=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}.

Температуры берут по абсолютной шкале, в кельвинах: $T=t+273$ . КПД реального двигателя всегда меньше.

Запомните

Одноатомный идеальный газ: $U=\dfrac32\nu RT=\dfrac32pV$ .
$Q=cm\Delta t$ , $\;C=cm$ ; тепловой баланс: $Q_{\text{отд}}=Q_{\text{пол}}$ .
Первый закон: $Q=\Delta U+A'$ ; при постоянном давлении $A'=p\Delta V$ .
Изотермический: $\Delta U=0$ ; изохорный: $A'=0$ ; адиабатный: $Q=0$ .
$\eta=\dfrac{Q_1-Q_2}{Q_1}$ , $\;\eta_{\max}=\dfrac{T_1-T_2}{T_1}$ (температура в кельвинах).

Разобранные примеры

Пример 1
Одноатомный идеальный газ расширяется при постоянном давлении $10^5$ Па от 2 л до 6 л. Найдите работу газа, изменение его внутренней энергии и полученное количество теплоты.
Решение
1. $\Delta V=6-2=4$ л $=4\cdot10^{-3}$ м³.
2. $A'=p\Delta V=10^5\cdot4\cdot10^{-3}=400$ Дж.
3. $\Delta U=\dfrac32p\Delta V=\dfrac32\cdot400=600$ Дж.
4. $Q=\Delta U+A'=600+400=1000$ Дж $=1$ кДж.
Ответ: $A'=400$ Дж, $\Delta U=600$ Дж, $Q=1$ кДж.
Пример 2
Смешали 200 г воды при 20 °C и 300 г воды при 70 °C. Найдите температуру смеси, пренебрегая потерями теплоты.
Решение
1. Обозначим конечную температуру $t$ . Горячая вода отдаёт $Q_{\text{отд}}=cm_2(70-t)$ , холодная получает $Q_{\text{пол}}=cm_1(t-20)$ .
2. $cm_1(t-20)=cm_2(70-t)$ . Удельная теплоёмкость $c$ сокращается, массы можно оставить в граммах: $200(t-20)=300(70-t)$ .
3. $200t-4000=21000-300t$ , $\;500t=25000$ , $\;t=50$ °C.
Ответ: 50 °C.

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Температура нагревателя идеального теплового двигателя 227 °C, холодильника — 27 °C. Найдите КПД двигателя.
1. 12%
2. 40%
3. 60%
4. 88%
5. 25%
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B 40%
$T_1=227+273=500$ К, $T_2=27+273=300$ К. $\eta=\dfrac{500-300}{500}=0{,}4$ , то есть 40%. Если подставить температуры в градусах Цельсия, получится неверный ответ 88%.
При изотермическом расширении идеальный газ получил 300 Дж теплоты. Чему равны работа газа $A'$ и изменение его внутренней энергии $\Delta U$ ?
1. $A'=0$ , $\Delta U=300$ Дж
2. $A'=150$ Дж, $\Delta U=150$ Дж
3. $A'=300$ Дж, $\Delta U=300$ Дж
4. $A'=300$ Дж, $\Delta U=0$
5. $A'=0$ , $\Delta U=0$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: D $A'=300$ Дж, $\Delta U=0$
При изотермическом процессе температура, а значит и внутренняя энергия идеального газа, не меняется: $\Delta U=0$ . По первому закону $Q=A'$ , то есть $A'=300$ Дж.
Одноатомный идеальный газ находится в сосуде объёмом 20 л под давлением $10^5$ Па. Найдите внутреннюю энергию газа.
1. 1,5 кДж
2. 2 кДж
3. 3 кДж
4. 4,5 кДж
5. 5 кДж
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C 3 кДж
$V=20$ л $=0{,}02$ м³. $U=\dfrac32pV=\dfrac32\cdot10^5\cdot0{,}02=3000$ Дж $=3$ кДж.

Типичные ошибки

Подставлять в формулу Карно температуру в градусах Цельсия: всегда переходите к кельвинам, $T=t+273$ .
Путать знак работы газа $A'$ и работы внешних сил над газом $A=-A'$ .
Считать изотермический процесс процессом без теплообмена: при нём $\Delta U=0$ , но $Q=A'\ne0$ ; процесс с $Q=0$ — адиабатный.

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото