Bucağın dərəcə və radian ölçüsü

Açıq bucağın $\frac{1}{180}$ hissəsi 1 dərəcə ($1^\circ$) adlanır. Deməli, açıq bucaq $180^\circ$, tam dövrə isə $360^\circ$ edir. Daha kiçik vahidlər də var: $1^\circ = 60'$ (dəqiqə), $1' = 60''$ (saniyə).

Triqonometriyada bucaq şüanın öz başlanğıc nöqtəsi ətrafında dönməsi kimi başa düşülür. Saat əqrəbinin əksi istiqamətində dönmə müsbət, saat əqrəbi istiqamətində dönmə isə mənfi bucaq verir. Buna görə $-45^\circ$, $390^\circ$, $720^\circ$ kimi bucaqlar da mənalıdır.

Bir-birindən tam dövrələr qədər fərqlənən bucaqlar şüanı eyni vəziyyətə gətirir: $\alpha$ və $\alpha + 360^\circ \cdot k$, burada $k$ tam ədəddir. Məsələn, $390^\circ = 30^\circ + 360^\circ$, ona görə $390^\circ$ və $30^\circ$ bucaqlarının tərəfləri üst-üstə düşür.

Uzunluğu çevrənin radiusuna bərabər olan qövsə söykənən mərkəzi bucaq 1 radian adlanır. Bu tərif radiusun uzunluğundan asılı deyil.

Çevrənin uzunluğu $2\pi R$ olduğundan tam dövrəyə $\frac{2\pi R}{R} = 2\pi$ radian uyğun gəlir. Beləliklə,

Buradan $1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ və $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ rad alınır. Radian ölçüsünü yazarkən «rad» sözü adətən buraxılır: $\alpha = \frac{\pi}{2}$ yazılıbsa, bucaq radianla verilib.

Bucaq $n^\circ$ olarsa, onun radian ölçüsü $\frac{\pi n}{180}$ olur. Bucaq $\alpha$ radian olarsa, onun dərəcə ölçüsü $\left(\frac{180\alpha}{\pi}\right)^\circ$ olur.

Radianla verilmiş bucaqda $\pi$ əvəzinə $180^\circ$ yazmaq kifayətdir: $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$. Bucaqda dəqiqələr varsa, əvvəlcə onları dərəcənin hissəsinə çevirin: $22^\circ 30' = 22{,}5^\circ = \frac{22{,}5\pi}{180} = \frac{\pi}{8}$.

Ən çox rast gəlinən bucaqlar:

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$;
• $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$, $150^\circ = \frac{5\pi}{6}$, $180^\circ = \pi$;
• $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$, $360^\circ = 2\pi$.

Mərkəzi bucaq radianla verildikdə düsturlar çox sadə olur. Radiusu $R$, mərkəzi bucağı $\alpha$ radian olan qövs və sektor üçün:

Bu düsturlar yalnız $\alpha$ radianla olduqda doğrudur. Bucaq dərəcə ilə verilibsə, əvvəlcə onu radiana çevirin.

Bucağı $Ox$ oxunun müsbət hissəsindən başlayan dönmə kimi qursaq, dönən şüa koordinat rüblərindən birinə və ya oxlardan birinin üzərinə düşür. Rüblərin sərhədləri radianla $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$ ədədləridir. $\pi \approx 3{,}14$ olduğundan bu sərhədlər təqribən $0$; $1{,}57$; $3{,}14$; $4{,}71$; $6{,}28$ olur.

Məsələn, $\frac{7\pi}{6}$ III rübün bucağıdır, çünki $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$. Yazılışında $\pi$ olmayan bucaq da radianla verilib: $2$ radianlıq bucaq II rübün bucağıdır, çünki $1{,}57 < 2 < 3{,}14$. Bu bilik sonra $\sin 2$, $\cos 2$ kimi ifadələrin işarəsini tapmaq üçün lazım olacaq.