Градусная и радианная мера угла

Один градус ($1^\circ$) составляет $\frac{1}{180}$ часть развёрнутого угла. Значит, развёрнутый угол равен $180^\circ$, а полный оборот — $360^\circ$. Есть и более мелкие единицы: $1^\circ = 60'$ (минут), $1' = 60''$ (секунд).

В тригонометрии угол понимают как поворот луча вокруг его начала. Поворот против часовой стрелки даёт положительный угол, по часовой стрелке — отрицательный. Поэтому имеют смысл и углы вроде $-45^\circ$, $390^\circ$, $720^\circ$.

Углы, которые отличаются на целое число полных оборотов, приводят луч в одно и то же положение: $\alpha$ и $\alpha + 360^\circ \cdot k$, где $k$ — целое число. Например, $390^\circ = 30^\circ + 360^\circ$, поэтому стороны углов $390^\circ$ и $30^\circ$ совпадают.

Один радиан — это центральный угол, который опирается на дугу длиной, равной радиусу окружности. Такое определение не зависит от величины радиуса.

Длина окружности равна $2\pi R$, поэтому полному обороту соответствует $\frac{2\pi R}{R} = 2\pi$ радиан. Итак, $360^\circ = 2\pi$ рад и

Отсюда $1$ рад $= \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ и $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ рад. Слово «рад» обычно не пишут: запись $\alpha = \frac{\pi}{2}$ означает, что угол дан в радианах.

Если угол равен $n^\circ$, то в радианах он равен $\frac{\pi n}{180}$. Если угол равен $\alpha$ радиан, то в градусах он равен $\left(\frac{180\alpha}{\pi}\right)^\circ$.

В угле, записанном в радианах, достаточно заменить $\pi$ на $180^\circ$: $\frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ$. Если в угле есть минуты, сначала переведите их в доли градуса: $22^\circ 30' = 22{,}5^\circ = \frac{22{,}5\pi}{180} = \frac{\pi}{8}$.

Самые частые углы:

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$;
• $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$, $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$, $150^\circ = \frac{5\pi}{6}$, $180^\circ = \pi$;
• $270^\circ = \frac{3\pi}{2}$, $360^\circ = 2\pi$.

Если центральный угол задан в радианах, формулы получаются очень простыми. Для дуги и сектора радиуса $R$ с центральным углом $\alpha$ радиан:

Эти формулы верны только тогда, когда $\alpha$ выражен в радианах. Если угол дан в градусах, сначала переведите его в радианы.

Если строить угол как поворот луча от положительной полуоси $Ox$, луч попадает в одну из координатных четвертей или на одну из осей. Границы четвертей в радианах: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Так как $\pi \approx 3{,}14$, это примерно $0$; $1{,}57$; $3{,}14$; $4{,}71$; $6{,}28$.

Например, $\frac{7\pi}{6}$ — угол III четверти, так как $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$. Угол, в записи которого нет $\pi$, тоже дан в радианах: угол в $2$ радиана лежит во II четверти, так как $1{,}57 < 2 < 3{,}14$. Это понадобится, чтобы определять знаки выражений вроде $\sin 2$ и $\cos 2$.