Понятие функции

Если каждому элементу $x$ множества $X$ по некоторому правилу ставится в соответствие единственный элемент $y$ множества $Y$, то говорят, что на множестве $X$ задана функция. Правило обозначают буквой $f$ и пишут $y = f(x)$.

• $x$ называют аргументом (независимой переменной);
• $y$ называют зависимой переменной, а $f(x)$ называют значением функции в точке $x$;
• все значения, которые может принимать аргумент, образуют область определения $D(f)$, а все значения функции образуют множество значений $E(f)$.

Например, площадь квадрата зависит от его стороны: $S = a^2$. Каждому $a > 0$ соответствует ровно одно значение площади, значит, эта зависимость является функцией.

Чтобы найти $f(a)$, нужно в формуле всюду заменить $x$ на $a$. Отрицательное число или выражение обязательно берите в скобки.

Если $f(x) = x^2 - 3x$, то:

• $f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$;
• $f(a + 1) = (a + 1)^2 - 3(a + 1) = a^2 - a - 2$.

Функция может задаваться разными формулами на разных промежутках. Тогда сначала смотрят, в какой промежуток попадает аргумент, и берут соответствующую формулу.

Запись $f(f(x))$ означает последовательное вычисление: сначала находят внутреннее значение, затем полученное число снова подставляют в $f$. Например, для $f(x) = 2x - 1$ имеем $f(3) = 5$, $f(f(3)) = f(5) = 9$.

Главное условие: каждому $x$ соответствует только одно $y$. Обратного не требуется: разным $x$ может соответствовать одно и то же $y$. Например, $y = x^2$ является функцией, хотя $f(-2) = f(2) = 4$.

• Если в таблице одно и то же $x$ встречается с двумя разными $y$, это не функция.
• Для графика применяют проверку вертикальной прямой: любая прямая, параллельная оси $Oy$, должна пересекать кривую не более чем в одной точке. Окружность этому условию не удовлетворяет, поэтому равенство $x^2 + y^2 = 4$ не задаёт $y$ как функцию от $x$: при $x = 0$ получаем $y = 2$ и $y = -2$.
• Зависимость $y^2 = x$ тоже не функция, так как при $x = 4$ имеем $y = \pm 2$.

На экзамене часто дают формулу для $f(x + 1)$ или $f(2x - 1)$ и спрашивают $f(x)$ или конкретное значение функции. Есть два пути.

1. Нужно конкретное значение. Приравняйте выражение в скобках к этому числу. Если $f(x + 1) = 3x - 2$, то для $f(5)$ берём $x + 1 = 5$, то есть $x = 4$, и $f(5) = 3 \cdot 4 - 2 = 10$.
2. Нужна вся формула. Введите новую переменную: $t = x + 1$, тогда $x = t - 1$ и $f(t) = 3(t - 1) - 2 = 3t - 5$. Значит, $f(x) = 3x - 5$. Проверка: $f(5) = 15 - 5 = 10$.