Funksiyanın tərifi

$X$ çoxluğunun hər bir $x$ elementinə hansısa qayda ilə $Y$ çoxluğunun yalnız bir $y$ elementi qarşı qoyulursa, deyirlər ki, $X$ çoxluğunda funksiya verilib. Bu qaydanı $f$ hərfi ilə işarə edib $y = f(x)$ yazırlar.

$x$ arqument (sərbəst dəyişən) adlanır;
$y$ asılı dəyişən, $f(x)$ isə funksiyanın $x$ nöqtəsindəki qiyməti adlanır;
arqumentin ala biləcəyi bütün qiymətlər təyin oblastı $D(f)$ , funksiyanın aldığı bütün qiymətlər isə qiymətlər çoxluğu $E(f)$ adlanır.

Məsələn, kvadratın sahəsi onun tərəfindən asılıdır: $S = a^2$ . Hər $a > 0$ üçün sahə yeganə ədəddir, deməli, bu asılılıq funksiyadır.

Funksiyanın qiymətinin hesablanması

$f(a)$ qiymətini tapmaq üçün düsturda hər yerdə $x$ əvəzinə $a$ yazılır. Mənfi ədədi və ya ifadəni mütləq mötərizəyə alın.

$f(x) = x^2 - 3x$ olarsa:

$f(-2) = (-2)^2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$ ;
$f(a + 1) = (a + 1)^2 - 3(a + 1) = a^2 - a - 2$ .

Funksiya müxtəlif aralıqlarda müxtəlif düsturlarla da verilə bilər. Onda əvvəlcə arqumentin hansı aralığa düşdüyünə baxılır, sonra uyğun düstur götürülür.

$f(f(x))$ yazılışı ardıcıl hesablama deməkdir: əvvəlcə daxili qiymət tapılır, sonra alınan ədəd yenidən $f$ funksiyasına yazılır. Məsələn, $f(x) = 2x - 1$ üçün $f(3) = 5$ , $f(f(3)) = f(5) = 9$ .

Hansı asılılıq funksiyadır?

Əsas şərt budur: hər $x$ -ə yalnız bir $y$ uyğun gəlməlidir. Əksinə tələb yoxdur: müxtəlif $x$ -lərə eyni $y$ uyğun gələ bilər. Məsələn, $y = x^2$ funksiyadır, baxmayaraq ki, $f(-2) = f(2) = 4$ .

Cədvəldə eyni $x$ iki müxtəlif $y$ ilə verilibsə, bu funksiya deyil.
Qrafikdə şaquli düz xətt yoxlaması aparılır: $Oy$ oxuna paralel istənilən düz xətt əyrini ən çoxu bir nöqtədə kəsməlidir. Çevrə bu şərti ödəmir, ona görə $x^2 + y^2 = 4$ bərabərliyi $y$ -i $x$ -in funksiyası kimi təyin etmir: $x = 0$ olduqda $y = 2$ və $y = -2$ alınır.
$y^2 = x$ asılılığı da funksiya deyil, çünki $x = 4$ üçün $y = \pm 2$ .

Funksiyanın düsturunun tapılması

İmtahanda tez-tez $f(x + 1)$ və ya $f(2x - 1)$ üçün düstur verilir, $f(x)$ və ya $f$ funksiyasının konkret qiyməti isə soruşulur. Bunun iki yolu var.

Konkret qiymət lazımdırsa, mötərizənin içini həmin ədədə bərabər edin. $f(x + 1) = 3x - 2$ olarsa, $f(5)$ üçün $x + 1 = 5$ , yəni $x = 4$ və $f(5) = 3 \cdot 4 - 2 = 10$ .
Bütöv düstur lazımdırsa, yeni dəyişən daxil edin: $t = x + 1$ , onda $x = t - 1$ və $f(t) = 3(t - 1) - 2 = 3t - 5$ . Deməli, $f(x) = 3x - 5$ . Yoxlama: $f(5) = 15 - 5 = 10$ .

Yadda saxla

Funksiyada hər $x$ -ə yalnız bir $y$ uyğun gəlir; müxtəlif $x$ -lərə eyni $y$ uyğun gələ bilər.
$f(a)$ tapmaq üçün düsturdakı bütün $x$ -ləri $a$ ilə əvəz edin, mənfi ədədləri mötərizəyə alın.
Əyri o zaman funksiyanın qrafikidir ki, $Oy$ oxuna paralel hər düz xətt onu ən çoxu bir nöqtədə kəssin.
$f(x + k)$ verilibsə, $f(m)$ üçün $x + k = m$ götürün; bütöv düstur üçün $t = x + k$ əvəzləməsi aparın.
$f(f(x))$ içəridən başlayaraq hesablanır.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
Funksiya belə verilib: $x \le 2$ olduqda $f(x) = x^2 - 1$ , $x > 2$ olduqda isə $f(x) = 5 - x$ . $f(-3) + f(2) + f(4)$ cəmini tapın.
Həlli
Hər arqument üçün uyğun düsturu seçirik.
1. $-3 \le 2$ , ona görə $f(-3) = (-3)^2 - 1 = 8$ .
2. $2 \le 2$ , ona görə $f(2) = 2^2 - 1 = 3$ (sərhəd nöqtəsi birinci düstura aiddir).
3. $4 > 2$ , ona görə $f(4) = 5 - 4 = 1$ .
Cəm: $8 + 3 + 1 = 12$ .

Cavab: $12$ .
Misal 2
$f(2x - 1) = 4x + 3$ olduğu məlumdur. $f(x)$ funksiyasını və $f(5)$ qiymətini tapın.
Həlli
$t = 2x - 1$ işarə edək. Onda $x = \frac{t + 1}{2}$ .

$f(t) = 4 \cdot \frac{t + 1}{2} + 3 = 2(t + 1) + 3 = 2t + 5.$

Deməli, $f(x) = 2x + 5$ və $f(5) = 2 \cdot 5 + 5 = 15$ .

Yoxlama: $2x - 1 = 5$ olduqda $x = 3$ və verilmiş bərabərlikdən $f(5) = 4 \cdot 3 + 3 = 15$ . Nəticələr üst-üstə düşür.

Cavab: $f(x) = 2x + 5$ ; $f(5) = 15$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ olarsa, $f(-1)$ qiymətini tapın.
1. $0$
2. $2$
3. $4$
4. $6$
5. $8$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: D $6$
$f(-1) = 2 \cdot (-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$ . $0$ cavabı $-3 \cdot (-1)$ hasilinin işarəsində səhv edəndə alınır.
Aşağıdakı bərabərliklərdən hansı $y$ -i $x$ -in funksiyası kimi təyin etmir?
1. $y = x^2$
2. $y = |x|$
3. $x^2 + y^2 = 4$
4. $y = \sqrt{x}$
5. $y = \frac{1}{x}$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $x^2 + y^2 = 4$
$x = 0$ olduqda $y^2 = 4$ , yəni $y = 2$ və ya $y = -2$ : bir $x$ -ə iki $y$ uyğun gəlir. Qalan bərabərliklərdə təyin oblastındakı hər $x$ üçün $y$ yeganə qiymət alır.
$f(x + 2) = x^2 + 1$ olarsa, $f(5)$ qiymətini tapın.
1. $5$
2. $8$
3. $10$
4. $17$
5. $26$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $10$
$x + 2 = 5$ olmalıdır, yəni $x = 3$ . Onda $f(5) = 3^2 + 1 = 10$ . $26$ cavabı $5$ ədədini birbaşa $x$ əvəzinə yazanda alınan səhvdir.

Tipik səhvlər

Tərifi tərsinə başa düşmək: müxtəlif $x$ -lərə eyni $y$ uyğun gəldikdə «bu funksiya deyil» demək. Qadağan olan yalnız bir $x$ -ə iki müxtəlif $y$ uyğun gəlməsidir.
Mənfi arqumenti mötərizəsiz yazmaq: $f(x) = x^2$ üçün $f(-3)$ əvəzinə $-3^2 = -9$ hesablamaq. Düzgünü $(-3)^2 = 9$ .
$f(x + 2) = x^2 + 1$ verilən məsələdə $f(5)$ üçün $x$ əvəzinə birbaşa $5$ yazmaq. Əvvəlcə $x + 2 = 5$ tənliyindən $x$ tapılmalıdır.

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et