Ədədi ardıcıllıqlar

Hər natural $n$ ədədinə müəyyən qayda ilə bir $a_n$ ədədi uyğun qoyulubsa, deyirik ki, ədədi ardıcıllıq verilib. Başqa sözlə, ardıcıllıq natural ədədlər çoxluğunda təyin olunmuş funksiyadır.

$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ ədədləri ardıcıllığın hədləridir: $a_1$ birinci hədd, $a_n$ isə $n$-ci (ümumi) həddir, $n$ həddin nömrəsidir. Nömrə yalnız natural ədəd ola bilər: $n = 1, 2, 3, \ldots$. Ardıcıllıq qısaca $(a_n)$ kimi yazılır.

Hədlərinin sayı sonlu olan ardıcıllıq sonlu, sonsuz olan isə sonsuz ardıcıllıqdır. Məsələn, ikirəqəmli ədədlərin artan ardıcıllığı $10, 11, \ldots, 99$ sonludur, cüt natural ədədlərin ardıcıllığı $2, 4, 6, \ldots$ isə sonsuzdur. Ardıcıllığın qrafiki ayrı-ayrı nöqtələrdən ibarətdir, çünki $n$ yalnız natural qiymətlər alır.

1. $n$-ci həddin düsturu ilə. Düstur istənilən həddi nömrəsinə görə birbaşa hesablamağa imkan verir. Məsələn, $a_n = \frac{n}{n + 1}$ üçün $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{2}{3}$, $a_{10} = \frac{10}{11}$.

2. Rekurrent düsturla. Bir və ya bir neçə ilk hədd verilir və növbəti həddi əvvəlkilər vasitəsilə tapmaq qaydası göstərilir. Məsələn, $a_1 = 2$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$: $a_2 = 5$, $a_3 = 14$, $a_4 = 41$. Fibonaççi ardıcıllığı: $a_1 = a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$, yəni $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$. Rekurrent düsturla uzaq həddi tapmaq üçün ondan əvvəlki bütün hədləri ardıcıl hesablamaq lazımdır.

3. Sözlə təsvir. Məsələn, «sadə ədədlərin artan ardıcıllığı»: $2, 3, 5, 7, 11, \ldots$. Bu ardıcıllıq üçün sadə $n$-ci hədd düsturu yoxdur, amma qayda aydındır.

Həddi tapmaq. $n$ əvəzinə nömrəni yazırıq: $a_n = n^2 - 3n$ üçün $a_5 = 25 - 15 = 10$.

Ədəd həddirmi? $a_n = b$ tənliyini həll edirik. Kök natural ədəddirsə, $b$ ardıcıllığın həddidir və kök onun nömrəsidir; kök natural deyilsə, $b$ hədd deyil. Məsələn, $a_n = 3n - 2$ üçün $3n - 2 = 100$ tənliyindən $n = 34$ alınır, yəni 100 ədədi 34-cü həddir. $3n - 2 = 50$ tənliyindən isə $n = \frac{52}{3}$ alınır, deməli, 50 hədd deyil.

Şərti ödəyən hədlərin sayı. Bərabərsizlik qurub onun natural həllərini sayırıq. $a_n = 50 - 3n$ ardıcıllığının müsbət hədləri üçün $50 - 3n > 0$, $n < \frac{50}{3}$, yəni $n = 1, 2, \ldots, 16$: cəmi 16 hədd.

Düsturu ilk hədlərə görə tapmaq. Hər həddin nömrəsindən necə asılı olduğunu axtar: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \ldots$ üçün $a_n = \frac{n}{n + 1}$; $1, 4, 9, 16, \ldots$ üçün $a_n = n^2$.