Oxlar və nöqtənin koordinatları

Müstəvidə ortaq başlanğıcı olan və bir-birinə perpendikulyar iki ədəd oxu çəkək. Üfüqi ox absis oxu ( $Ox$ ), şaquli ox ordinat oxu ( $Oy$ ) adlanır. Onların kəsişmə nöqtəsi $O(0; 0)$ koordinat başlanğıcıdır. Hər iki oxda eyni vahid parça götürülür.

$M$ nöqtəsindən oxlara perpendikulyarlar endirək. $Ox$ oxunda alınan ədəd $M$ nöqtəsinin absisi ( $x$ ), $Oy$ oxunda alınan ədəd isə onun ordinatı ( $y$ ) adlanır və $M(x; y)$ kimi yazılır. Əvvəl absis, sonra ordinat yazılır, ona görə $A(2; 5)$ və $B(5; 2)$ fərqli nöqtələrdir.

$Ox$ oxu üzərindəki nöqtənin ordinatı sıfırdır: $(x; 0)$ .
$Oy$ oxu üzərindəki nöqtənin absisi sıfırdır: $(0; y)$ .

Koordinat rübləri

Oxlar müstəvini dörd koordinat rübünə bölür. Rüblər saat əqrəbinin əksi istiqamətində nömrələnir:

I rüb: $x > 0$ , $y > 0$ ;
II rüb: $x < 0$ , $y > 0$ ;
III rüb: $x < 0$ , $y < 0$ ;
IV rüb: $x > 0$ , $y < 0$ .

Oxlar üzərindəki nöqtələr heç bir rübə aid deyil. Məsələn, $(0; -3)$ nöqtəsi IV rübdə yox, $Oy$ oxu üzərindədir. Nöqtənin hansı rübdə olduğunu bilmək üçün koordinatlarının işarələrinə baxmaq kifayətdir.

Simmetrik nöqtələr

$M(a; b)$ nöqtəsinə simmetrik olan nöqtələr belə tapılır:

$Ox$ oxuna nəzərən: $(a; -b)$ , yəni ordinatın işarəsi dəyişir;
$Oy$ oxuna nəzərən: $(-a; b)$ , yəni absisin işarəsi dəyişir;
koordinat başlanğıcına nəzərən: $(-a; -b)$ , hər iki işarə dəyişir;
$y = x$ düz xəttinə nəzərən: $(b; a)$ , koordinatlar yerini dəyişir.

Məsələn, $M(3; -4)$ üçün $Ox$ oxuna nəzərən simmetrik nöqtə $(3; 4)$ , $Oy$ oxuna nəzərən $(-3; -4)$ , başlanğıca nəzərən isə $(-3; 4)$ olur.

Məsafələr və parçalar

$M(a; b)$ nöqtəsindən $Ox$ oxuna qədər məsafə $|b|$ ədədinə, $Oy$ oxuna qədər məsafə isə $|a|$ ədədinə bərabərdir.

Ordinatları eyni olan iki nöqtəni birləşdirən parça $Ox$ oxuna paraleldir (və ya onun üzərindədir) və uzunluğu $|x_2 - x_1|$ olur. Absisləri eyni olan nöqtələrin parçası $Oy$ oxuna paraleldir (və ya onun üzərindədir), uzunluğu $|y_2 - y_1|$ olur. Ümumi halda $A(x_1; y_1)$ və $B(x_2; y_2)$ üçün

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

Xüsusi halda $M(a; b)$ nöqtəsindən koordinat başlanğıcına qədər məsafə $OM = \sqrt{a^2 + b^2}$ olur.

$AB$ parçasının orta nöqtəsinin koordinatları: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ .

Yadda saxla

Nöqtə $M(x; y)$ kimi yazılır: əvvəl absis, sonra ordinat.
Rüblər üzrə işarələr: I $(+; +)$ , II $(-; +)$ , III $(-; -)$ , IV $(+; -)$ .
$Ox$ oxu üzərində $y = 0$ , $Oy$ oxu üzərində $x = 0$ ; oxlardakı nöqtələr heç bir rübə aid deyil.
Simmetriya: $Ox$ oxuna nəzərən $(a; -b)$ , $Oy$ oxuna nəzərən $(-a; b)$ , başlanğıca nəzərən $(-a; -b)$ .
$M(a; b)$ nöqtəsindən $Ox$ oxuna qədər məsafə $|b|$ , $Oy$ oxuna qədər məsafə $|a|$ olur.

Həll olunmuş misallar

Misal 1
$A(3 - m; m + 2)$ nöqtəsi II rübdədir. $m$ -in ala biləcəyi bütün qiymətləri tapın.
Həlli
II rübdə absis mənfi, ordinat isə müsbətdir:
1. $3 - m < 0 \Rightarrow m > 3$ ;
2. $m + 2 > 0 \Rightarrow m > -2$ .
Hər iki şərt eyni zamanda ödənməlidir, ona görə ortaq hissəni götürürük: $m > 3$ .

Cavab: $m \in (3; +\infty)$ .
Misal 2
$A(-2; 1)$ , $B(4; 1)$ və $C(4; -3)$ nöqtələri üçbucağın təpələridir. $ABC$ üçbucağının sahəsini tapın.
Həlli
$A$ və $B$ nöqtələrinin ordinatları eynidir ( $1$ ), deməli, $AB \parallel Ox$ və $AB = |4 - (-2)| = 6$ .

$B$ və $C$ nöqtələrinin absisləri eynidir ( $4$ ), deməli, $BC \parallel Oy$ və $BC = |1 - (-3)| = 4$ .

Oxlar perpendikulyar olduğundan $AB \perp BC$ , yəni $B$ bucağı düz bucaqdır. Düzbucaqlı üçbucağın sahəsi katetlərin hasilinin yarısına bərabərdir:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12.$

Cavab: $12$ .

Özünü yoxla

Əvvəl özün həll et, sonra cavaba bax.

Hansı nöqtə IV rübdədir?
1. $(-3; 2)$
2. $(0; -5)$
3. $(4; -1)$
4. $(-2; -6)$
5. $(5; 0)$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: C $(4; -1)$
IV rübdə $x > 0$ və $y < 0$ olmalıdır. Bu şərti yalnız $(4; -1)$ ödəyir. $(0; -5)$ nöqtəsi $Oy$ oxu, $(5; 0)$ isə $Ox$ oxu üzərindədir, onlar heç bir rübə aid deyil.
$K(-5; 2)$ nöqtəsinə koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrik olan nöqtəni tapın.
1. $(5; 2)$
2. $(-5; -2)$
3. $(2; -5)$
4. $(-2; 5)$
5. $(5; -2)$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: E $(5; -2)$
Başlanğıca nəzərən simmetriyada hər iki koordinatın işarəsi dəyişir: $(-5; 2) \to (5; -2)$ .
$P(a - 1; 2a + 6)$ nöqtəsi absis oxu üzərindədir. $P$ nöqtəsinin absisini tapın.
1. $-3$
2. $-4$
3. $4$
4. $0$
5. $-2$
Cavabı göstərCavabı gizlət
Düzgün cavab: B $-4$
Absis oxu üzərindəki nöqtənin ordinatı sıfırdır: $2a + 6 = 0$ , buradan $a = -3$ . Onda absis $a - 1 = -3 - 1 = -4$ , yəni $P(-4; 0)$ . $-3$ cavabı $a$ -nın qiymətidir, absis deyil.

Tipik səhvlər

Koordinatların yerini dəyişmək, yəni $(y; x)$ yazmaq. Həmişə əvvəl absis ( $x$ ), sonra ordinat ( $y$ ) gəlir.
Oxlar üzərindəki nöqtələri, məsələn $(0; -5)$ nöqtəsini, hansısa rübə aid etmək.
$M(a; b)$ nöqtəsindən $Ox$ oxuna qədər məsafəni $|a|$ götürmək. Əslində $Ox$ oxuna qədər məsafə ordinatın moduludur, yəni $|b|$ .

Hələ də tam aydın deyil?

Mövzunu sənə səsli dərs kimi izah edir, lövhədə yazır və suallarla yoxlayır.

Bu mövzunu Canlı Müəllimlə öyrən Məsələni şəkillə həll et