Оси и координаты точки

Проведём на плоскости две взаимно перпендикулярные числовые оси с общим началом. Горизонтальная ось называется осью абсцисс ( $Ox$ ), вертикальная — осью ординат ( $Oy$ ). Точка их пересечения $O(0; 0)$ называется началом координат. На обеих осях берётся одинаковый единичный отрезок.

Опустим из точки $M$ перпендикуляры на оси. Число на оси $Ox$ называется абсциссой точки ( $x$ ), число на оси $Oy$ — её ординатой ( $y$ ). Пишут $M(x; y)$ . Порядок важен: сначала абсцисса, потом ордината, поэтому $A(2; 5)$ и $B(5; 2)$ — это разные точки.

У точки на оси $Ox$ ордината равна нулю: $(x; 0)$ .
У точки на оси $Oy$ абсцисса равна нулю: $(0; y)$ .

Координатные четверти

Оси делят плоскость на четыре координатные четверти, которые нумеруются против часовой стрелки:

I четверть: $x > 0$ , $y > 0$ ;
II четверть: $x < 0$ , $y > 0$ ;
III четверть: $x < 0$ , $y < 0$ ;
IV четверть: $x > 0$ , $y < 0$ .

Точки, лежащие на осях, не принадлежат ни одной четверти. Например, точка $(0; -3)$ лежит не в IV четверти, а на оси $Oy$ . Чтобы определить четверть, достаточно посмотреть на знаки координат.

Симметричные точки

Для точки $M(a; b)$ симметричные точки находятся так:

относительно оси $Ox$ : $(a; -b)$ , меняется знак ординаты;
относительно оси $Oy$ : $(-a; b)$ , меняется знак абсциссы;
относительно начала координат: $(-a; -b)$ , меняются оба знака;
относительно прямой $y = x$ : $(b; a)$ , координаты меняются местами.

Например, для $M(3; -4)$ симметричной относительно оси $Ox$ будет точка $(3; 4)$ , относительно оси $Oy$ точка $(-3; -4)$ , относительно начала координат точка $(-3; 4)$ .

Расстояния и отрезки

Расстояние от точки $M(a; b)$ до оси $Ox$ равно $|b|$ , а до оси $Oy$ равно $|a|$ .

Если у двух точек одинаковые ординаты, отрезок между ними параллелен оси $Ox$ (или лежит на ней) и его длина равна $|x_2 - x_1|$ . Если одинаковые абсциссы, отрезок параллелен оси $Oy$ (или лежит на ней) и его длина равна $|y_2 - y_1|$ . В общем случае для $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$

AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.

В частности, расстояние от точки $M(a; b)$ до начала координат равно $OM = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Координаты середины отрезка $AB$ : $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ .

Запомните

Точка записывается как $M(x; y)$ : сначала абсцисса, затем ордината.
Знаки координат по четвертям: I $(+; +)$ , II $(-; +)$ , III $(-; -)$ , IV $(+; -)$ .
На оси $Ox$ ордината $y = 0$ , на оси $Oy$ абсцисса $x = 0$ ; точки на осях не принадлежат ни одной четверти.
Симметрия: относительно $Ox$ получаем $(a; -b)$ , относительно $Oy$ получаем $(-a; b)$ , относительно начала координат $(-a; -b)$ .
Расстояние от $M(a; b)$ до оси $Ox$ равно $|b|$ , до оси $Oy$ равно $|a|$ .

Разобранные примеры

Пример 1
Точка $A(3 - m; m + 2)$ лежит во II четверти. Найдите все возможные значения $m$ .
Решение
Во II четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна:
1. $3 - m < 0 \Rightarrow m > 3$ ;
2. $m + 2 > 0 \Rightarrow m > -2$ .
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому берём общую часть: $m > 3$ .

Ответ: $m \in (3; +\infty)$ .
Пример 2
Точки $A(-2; 1)$ , $B(4; 1)$ и $C(4; -3)$ являются вершинами треугольника. Найдите площадь треугольника $ABC$ .
Решение
У точек $A$ и $B$ одинаковые ординаты ( $1$ ), значит, $AB \parallel Ox$ и $AB = |4 - (-2)| = 6$ .

У точек $B$ и $C$ одинаковые абсциссы ( $4$ ), значит, $BC \parallel Oy$ и $BC = |1 - (-3)| = 4$ .

Оси перпендикулярны, поэтому $AB \perp BC$ и угол $B$ прямой. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12.$

Ответ: $12$ .

Проверьте себя

Сначала решите сами, потом откройте ответ.

Какая точка лежит в IV четверти?
1. $(-3; 2)$
2. $(0; -5)$
3. $(4; -1)$
4. $(-2; -6)$
5. $(5; 0)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: C $(4; -1)$
В IV четверти $x > 0$ и $y < 0$ . Этому условию удовлетворяет только $(4; -1)$ . Точка $(0; -5)$ лежит на оси $Oy$ , а $(5; 0)$ — на оси $Ox$ , они не принадлежат ни одной четверти.
Найдите точку, симметричную точке $K(-5; 2)$ относительно начала координат.
1. $(5; 2)$
2. $(-5; -2)$
3. $(2; -5)$
4. $(-2; 5)$
5. $(5; -2)$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: E $(5; -2)$
При симметрии относительно начала координат меняются знаки обеих координат: $(-5; 2) \to (5; -2)$ .
Точка $P(a - 1; 2a + 6)$ лежит на оси абсцисс. Найдите абсциссу точки $P$ .
1. $-3$
2. $-4$
3. $4$
4. $0$
5. $-2$
Показать ответСкрыть ответ
Правильный ответ: B $-4$
У точки на оси абсцисс ордината равна нулю: $2a + 6 = 0$ , откуда $a = -3$ . Тогда абсцисса $a - 1 = -3 - 1 = -4$ , то есть $P(-4; 0)$ . Ответ $-3$ — это значение $a$ , а не абсцисса.

Типичные ошибки

Путают порядок координат и пишут $(y; x)$ . Всегда сначала абсцисса ( $x$ ), потом ордината ( $y$ ).
Относят точки на осях, например $(0; -5)$ , к какой-либо четверти.
Считают расстояние от $M(a; b)$ до оси $Ox$ равным $|a|$ . На самом деле оно равно модулю ординаты, то есть $|b|$ .

Всё ещё не до конца понятно?

Объяснит тему голосом, как на уроке, запишет всё на доске и проверит вопросами.

Изучить с Живым репетитором Решить задачу по фото